平面向量基础知识点-2024届高三数学一轮复习

平面向量 一、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥， 规定零向量和任何向量平行。 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有)； ④三点共线共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 二、向量的线性运算 三角形法则 平行四边形法则 1、向量的加减法 首位连结 ，由减向量的终点指向被减向量的终点。 注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 设，那么向量叫做与的和，即； 6.同向或有；反向或有 ；不共线. 2、实数与向量的积：①定义：实数与向量的积是一个向量，记作：； ②它的长度：； ③：它的方向：当，与的方向相同；当，与的方向相反；当时，=； 8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点在线段上时,；当点在线段(或)延长线上时,或.②分点坐标公式：若；且,； 则, （了解）中点坐标公式：. ③,,三点共线存在实数、使得且. 3、数量积： 平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。 规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。 向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： ①； ②当，同向时，＝，特别地，； 当与反向时，＝－； 当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件； 当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件； 三、平面向量基本定理 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。 性质：向量中三终点共线存在实数使得且. 四、向量的坐标运算 1、两点求向量：A（x1，y1），B（x2，y2），则. 2、坐标加减运算：设，则 3、向量的模：（1）。 （2）。 4、数乘向量: 设，则λ， 5、数量积运算： （1）数量积：,则 ； （2）利用数量积求向量夹角：设是向量的夹角，则 。 6、两个重要结论：设,. 向量平行(共线)的充要条件：＝0。 向量垂直的充要条件： 五、投影问题 在上的投影为=，它是一个实数，但不一定大于0。 六、平面向量与三角形四心 1、 四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 2、结论1为的重心； 结论2为的垂心； 结论3设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心 为的内心. 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； 结论4为的外心。 3、.三角形中向量性质：（了解） ①过边的中点：； ②为的重心； ③为的垂心； ④为的内心； 所在直线过内心. ⑤设,. . ⑥为内一点,则. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$