专题15.22 分式（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题15.22 分式（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】分式的有关概念及性质 1．分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 要点提醒：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　 　 （M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 【知识点2】分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4．零指数 　　. 5.负整数指数 　　 6.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 【知识点3】分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 要点提醒：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 【知识点4】分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 【考点目录】 【考点1】分式及相关概念； 【考点2】分式的运算； 【考点3】零指数与负指数； 【考点4】解分式方程； 【考点5】增根与无解； 【考点6】分式方程的应用. 【考点一】分式及相关概念； 【例1】（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）已知：代数式 （1）当m为何值时，该式无意义？ （2）若该式的值为正数，求m的取值范围； 【答案】（1）时，该式无意义；（2） 【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案； （2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则，再解不等式即可． （1）解：由题意得，当时，代数式无意义； 所以时，该式无意义． （2）由题意得，该式的值为正数时，， 即． 【点拨】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023上·上海青浦·七年级校考期中）在代数式，，，，，中，分式的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式“如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式”，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义即可得． 解：代数式，，都是整式， 代数式，，的分母中都含有字母，都是分式，共有3个， 故选：C． 【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）当x为 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】此题考查分式值为零的情况：分子为零，且分母不等于零，据此列得，且，由此求出答案，熟记分式值为零的要求是解题的关键． 解：由题意得，且， 解得， 故答案为：． 【例2】（2022下·江苏淮安·八年级校联考期中）约分 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先找出分子分母的公因式，再将公因式约分即可； （2）先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可． （1）解：=； （2）解：=． 【点拨】本题考查分式的约分，公因式，因式分解，约分是将分式的分子与分母中公