热点专题04整式的乘法与因式分解（12个热点）-2023-2024学年八年级上册数学重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

热点专题04 整式的乘法与因式分解 考点一、整式的乘法 1.幂的运算 （1）幂的乘法运算：均为正整数) 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 （2）幂的乘方运算:都为正整数) 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （3）积的乘方运算：为正整数） 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （4）幂的除法运算：均为正整数，并且) 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 （5）零指数： 2.整式的乘法 （1）单项式乘单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． （3）多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． （4）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． （5）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 考点二、乘法公式 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ①位置变化：；②符号变化： ③指数变化：；④系数变化： 2.完全平方公式：， 两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ， 考点三、因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 注意： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 2.公因式：像多项式，它的各项都有一个公共的因式，我们把这个公共因式，叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数——各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数； 3.提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式． 注意：提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的． 4.公式法：运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：平方差公式:；完全平方公式:， 5.十字相乘法： 在二次三项式中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把,.排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即. 题型一 幂的运算 【例1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列运算中，正确的是（      ）． A． B． C． D． 【变式1-3】 ． 题型二 幂的逆运算 【例3】已知，，则（    ） A．17 B．72 C．32 D．6 【例4】若，，则（    ） A．2 B．5 C． D．10 【变式2-1】计算的值是（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-2】计算： 【变式2-3】已知，，则 ． 题型三 巧用幂的运算进行比较大小 【例5】比较的大小结果是（       ） A． B． C． D． 【例6】已知，比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】比较的大小顺序关系 （用＜连接） 【变式3-2】比较下列各数的大小： ， 【变式3-3】阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底