第二章 一元二次函数、方程和不等式单元检测-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 检测试卷 一、选择题 1、已知,则的最小值为( ) A.4 B. C. D. 2、已知,则的最小值为(　　) A.－ B.-1 C.2 D.0 3、若,则的最小值是( ) A. B. C. D. 4、已知方程的两根都大于1,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 5、已知,则的最小值是( ) A. B.4 C. D.5 6、已知,且,则的最小值为( ) A. B.10 C.9 D. 7、设，，则有( ) A. B. C. D. 8、已知,若对任意恒成立,则实数m的最大值为( ) A.2 B.4 C. D. 9、已知命题，命题，，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为( ) A. B. C. D. 10、定义行列式,若,则x的取值集合为( ) A. B. C.或 D. 11、若,,且,则的最小值是( ) A.43 B.49 C.39 D.36 12、若,则函数的最小值为( ) A. B. C.4 D.2.5 二、填空题 13、若,则的最小值为____________. 14、若对恒成立，则实数a的取值范围为_____. 15、已知,则的最大值为________. 16、已知函数，且在R上恒成立，则实数a的取值范围_______. 三、解答题 17、已知关于x的方程有两个不相等的实数根,. （1）证明:; （2）证明:; （3）设,求S的最大值. 18、已知. （1）当不等式的解集为时,求实数a,b的值; （2）解关于a的不等式. 19、已知a,b是正实数,且,证明: （1）; （2）. 20、已知,且,. （1）求的最小值; （2）求的最小值. 参考答案 1、答案：C 解析：因为,且, 当且仅当,即时取等号. 故选：C. 2、答案：D 解析：因为 ,所以 ,所以 , 当且仅当时“＝”成立. 3、答案：B 解析：由,可得, , 当且仅当,即 时取等号, 所以的最小值为. 故选:B. 4、答案：A 解析：设方程的两根为, 则,, 由题意可得 等价为 即为 解得, 故选:A. 5、答案：C 解析:, 当且仅当时等号成立, 所以的最小值是. 故选:C 6、答案：C 解析:由可得,, 所以, 当且仅当,即时取得等号, 所以的最小值为9, 故选:C. 7、答案：A 解析：， . 故选：A. 8、答案：B 解析:, 因为对任意恒成立,且, 所以,对任意恒成立 令,由基本不等式易得,当时,取得最小值,且, 故选:B 9、答案：A 解析：命题，，则， 所以，解得或 又p是q成立的必要不充分条件，所以， 所以区间D可以为. 10、答案：D 解析:由定义得,,, 由题意得,即, 所以,解得, 故x的取值集合为. 故选:D. 11、答案：B 解析:因为,所以,已知, 由,得, 则, 当且仅当,则由,解得, 即当且仅当,时,等号成立. 所以的最小值为49. 故选:B. 12、答案：D 解析:因为,所以, 所以,当且仅当,即时等号成立, 所以函数的最小值为2.5, 故选:D. 13、答案：2 解析：因为, 所以 所以. 当且仅当时,即时,等号成立. 所以答案为. 14、答案： 解析：对恒成立， ，. 15、答案：或 解析:由,则. 因为 . 当且仅当,即时,等号成立. 所以, 即的最大值为. 故答案为:. 16、答案： 解析： 17、答案：（1）见解析 （2）见解析 （3） 解析:（1）证明:因为关于x的方程有两个不相等的实数根, 所以, 则, 所以; （2）证明:由题意得, 因为, 所以, 因为,所以, 所以; （3）由题意,, 则 , 因为, 所以, 当且仅当,即时,取等号, 所以S的最大值为. 18、答案：（1）或 （2）当时,即时,不等式的解集为;当时,即时,不等式的解集为. 解析:（1）不等式的解集为, 与不等式同解, , 或 （2）, ,, 当时,即时,不等式的解集为; 当时,即时,不等式的解集为. 19、答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 解析:（1）证明:因为a,b是正实数,则, 当且仅当时,等号成立,故. （2）证明: , 当且仅当时,等号成立,故 20、答案：（1） （2） 解析:（1）因为,, 所以, 当且仅当,且,即,时等号成立, 则的最小值为 （2）设,则且 当且仅当,且,即,时等号成立, 即,时等号成立, 则的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$