浙江省宁波市七校2023-2024学年九年级上学期12月培优联测数学试题

12.20 七校培优联测九年级数学卷 一、选择题（每题 6 分，共 30 分） 1．从 1、2、3、……、2022、2023 中挑选一些数，其中没有两数之和可以被其差整除，选出的这些 数最多有（ ） A．674 个 B．675 个 C．1011 个 D．1012 个 2．从长度为 3、5、7、8 的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有60°角的三角形的概 率为（ ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 3．已知抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎、𝑏、𝑐是常数，𝑎 ≠ 0)经过点𝐴(1，0)和点𝐵(0，− 3)，若该抛物线 的顶点在第三象限，记𝑚 = 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐，则𝑚的取值范围是（ ） A．0 < 𝑚 < 3 B．−6 < 𝑚 < 3 C．−3 < 𝑚 < 6 D．−3 < 𝑚 < 0 4．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，E 是 CD 上一点（不与 C，D 重合），过 E 作 FG⊥BC 于 G，交 AB 于 F，过 E 作 HK⊥AC 于 H，交 AB 于 K，连结 HF，GK．则𝐷𝐾 𝐹𝐷 的值是（ ） A．𝐵𝐶 𝐴𝐶 B．𝐺𝐾 2 𝐻𝐹 2 C．𝐶𝐻 𝐶𝐺 D．𝐻𝐾 2 𝐹𝐺 2 5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，弦 BD 交 AC 于点 E，AE=DE，BC=CE，过点 O 作 OF⊥AC 于点 F，延长 FO 交 BE 于点 G，若 DE=6，EG=4，则 AB 的长为（ ） A．8√5 B．8√3 C．16 D．14 二、填空题（每空 6 分，共 30 分） 6．对于正整数 n 定义阶乘𝑛! = 1 × 2 × 3 × …×（𝑛 − 1） × 𝑛，则1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + ⋯+ 2023 × 2023! = （用阶乘表示） 7．已知关于 x 的一元二次方程 mx2﹣（m+2）x+2=0 有两个不相等的实数根 x1，x2，若 x2＜0，且 𝑥1 𝑥2 ＞ ﹣1，则整数 m 的值为 ． 8．如图，点𝐴，𝐵在函数𝑦 = 2 𝑥 (𝑥 > 0)的图象上，过点𝐴，𝐵作𝑥轴的垂线分别交函数𝑦 = 𝑘 𝑥 (𝑥 > 0，𝑘 > 2) 的图象于点𝐶，𝐷，连结𝑂𝐵，𝑂𝐷，𝐴𝐷，𝐶𝐷.若𝐴𝐶 = 3𝐵𝐷，且𝛥𝐴𝐶𝐷与𝛥𝑂𝐵𝐷的面积之和为 4，则𝑘 = . 9．图 1 是修正带实物图，图 2 是其示意图，使用时⊙B 上的白色修正物随透明条（载体）传送到点 O 处进行修正，留下来的透明条传到⊙A 收集.即透明条的运动路径为：M→C→O→P→N.假设 O，P，A， B 在同一直线上，BC＝3cm，AC＝4cm，AC⊥BC，tan∠ACO＝1 3 ，P 为 OA 中点. 图 1 图 2 （1）点 B 到 OC 的距离为 cm． （2）若⊙A 的半径为 1cm，当留下的透明条从点 O 出发，第一次传送到⊙A 上某点，且点 B 到该 点距离最小时，最多可以擦除的长度为 cm． 三、解答题（第 10 题 10 分，第 11、12 题各 15 分，共 40 分） 10．已知扇形 OAB. （1）如图 1，请你作一条过圆心 O 的直线，使扇形的面积被这条直线平分； （2）如图 2，若扇形 OAB 的面积被以 O 为圆心的𝐶𝐷⌢平分，点 C 在 OA 上，点 D 在 OB 上，在图 2 上作出这条𝐶𝐷⌢ . （注：所有作图都要求用尺规作图．．．．．．．．．．．．，不写作法．．．．，保留作图痕迹．．．．．．） 11．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水池喷头的安装方案？ 素 材 1 图 1 中有一个直径为 20m 的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水 池中心 O 处立着一个直径为 1m 的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点 M 处汇合，如图 2，水柱距水池中心 4m 处到达最高，高度为 6m． 素 材 2 如图 3，拟在水池里过水池中心的 直线上安装一排直线型喷头（喷射 水柱竖直向上，高度均为21 8 m）；相 邻两个直线型喷头的间距均为 1.2m，且喷射的水柱不能碰到抛物 线型水柱，要求在符合条件处都安 装喷头，安装后关于 OM 成轴对称 分布． 问题解决 任 务 1 确定水柱形状 在图 2 中建立合适的直角坐标系，任选一条抛