5.7 三角函数的应用课件（第一课时）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.7 三角函数的应用 （第一课时） 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述. 情景导入 你能举出生活中具有周期性现象的实例吗？ 生 活 中 自 然 界 中 物理学中 （1）匀速圆周运动。如表的指针的转动，摩天轮等； （2）自然界中的周期性现象。如潮汐变化，日升日落，一天当中的气温变化等； （3）物理学中的周期性现象。如钟摆，弹簧振子运动，发电机产生的交变电流等． 本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用. 具有周期性现象的实例： 问题1:某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y（单位：mm)之间的对应数据如下表所示。试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式。 t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 学习新知 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画. 根据已知数据作出散点图，如图所示． 观察散点图，位移y随时间t的变化规律确实可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画. t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 思考 ：由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A，周期T，初始状态(t＝0)时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？ A=20，T=60 s，初始状态的位移为-20 mm． 由T＝0.6 ，得 解得 再由初始状态(t=0)振子的位移为－20， 可得sinφ =－１, A=20，T=60 s，初始状态的位移为-20 mm． 所以振子位移关于时间的函数解析式为 y=Asin(ωx+φ) 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈[0，＋∞)表示，其中A＞０， ω ＞０． 这个解析式中的常数A，ω，φ分别表示简谐运动中的什么物理量呢？ 简谐运动y=Asin（ωx+φ ）,x∈[0，＋∞)中 练习 练习 问题2:图(1)是某次实验测得的交变电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的图象（频率为50HZ）。将测得的图象放大，得到图(2). （1）求电流i随时间t变化的函数解析式； （2）当 时，求电流i. (1) (2) 观察图象，交变电流i随时间t的变化满足怎样的函数模型？ 根据图象，你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（t=0）时的电流吗？由这些值，你能进一步解决问题（1）、（2）吗？ (1) (2) 解:(1)由交变电流的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可用i=Asin(ωt+φ)来刻画，其中 表示频率，A表示振幅，φ表示初相. 再由初始状态(t=0)的电流为4.33A，可得 sin φ=0.866，因此φ约为 . 所以电流随时间变化的函数解析式是 电流变化的周期为 s，频率为50Hz，即 ，解得ω=100π； 由图(2)可知，电流最大值为5A，因此A=5； 19 所以 周期为0.02，频率为50，电压的最大值为311 V． 电压和时间的函数解析式为U＝311sin 100πt，t∈[0，＋∞). 练习 4.一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图6所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式． 练习 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？你能举出一些符合三角函数规律的实际模型吗？ 在本节课中，你经历了怎样的学习过程，涉及哪些数学思想方法，还