4.2.2指数函数的图像与性质课件2-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.2 指数函数的图像与性质2 第四章 指数函数与对数函数 在R上是减函数 在R上是增函数 单调性 （0，1） （0，1） 过定点 x > 0时，0< y <1 x < 0时，y > 1 x > 0时，y > 1 x < 0时，0< y <1 函数值变化情况 R R 值 域 (0,+∞) 　 (0,+∞) 定义域 图 象 函 数 R (0,+∞) （0，1） 复习引入 指数函数的图像和性质 例1 求下列函数的定义域、值域： 函数的定义域为R. 角度1　定义域、值域、最值问题 3 x应满足x－4≠0，∴x≠4， 4 例2 5 (1)函数y＝ax在[1，2]上最大值与最小值的差为2，则a＝ 训练1 √ y＝ax在[1，2]上是单调函数， 当a>1时，a2－a＝2，解得a＝2(舍去－1). 当0<a<1时，a－a2＝2，方程无解. 综上知a＝2. 6 3 7 例3 f(x)的定义域为R，任取x1，x2∈R，且x1<x2， 角度2　指数函数图象和性质的综合运用 8 (2)当f(x)为奇函数时，求a及此时f(x)的值域. 9 例4 如图，某城市人口呈指数增长. (1)根据图像，估计该城市人口每翻一番所需时间； (2)该城市人口从80万开始，经过20年会增长到多少万人? 解: (1)观察图，发现20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需时间约为20年. (2)因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番. 因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ ∵y＝＝＝1－， 又∵3x>0，∴1＋3x>1， ∴0<<1，∴－1<－<0， ∴0<1－<1，∴函数的值域为(0，1). (1)y＝； ∴函数的定义域为{x|x≠4，x∈R}. ∵≠0，∴2≠1， ∴y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}. 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又y＝在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y＝在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝，u∈[－1，＋∞)， ∴0<≤＝3，∴当x＝1时，原函数的最大值为3，无最小值. 判断f(x)＝的单调性，并求最值. A.－1或2 B.2 C. D. 令＝t，则当x∈[－1，2]时，t∈， 则g(t)＝t2－t＋1＝＋图象关于直线t＝对称， ∴g(t)在上单调递减，在上单调递增， ∴当t＝(此时x＝1)时，取到最小值g＝， 当t＝2(此时x＝－1)时，取到最大值g(2)＝3， ∴f(x)的最小值为，最大值为3. (2)函数f(x)＝－＋1在[－1，2]上的最小值是________，最大值是________. (1)求证：不论a为何实数，f(x)总为增函数； 则f(x1)－f(x2)＝－＋＝， ∵x1<x2，∴2x1－2 x2<0，(1＋2 x1)(1＋2 x2)>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴不论a为何实数，f(x)总为增函数. 函数f(x)＝a－. ∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝a－＝0，解得a＝1. 经检验，当a＝1时，f(x)为奇函数， ∴f(x)＝1－. ∵2x＋1>1，∴0<<2，则－2<－<0，从而－1<f(x)<1. 故函数f(x)的值域为(－1，1). $$