4.4 二项式定理-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

4.4　二项式定理 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 n+1 2.二项展开式的通项 (a+b)n展开式的第 项叫作二项展开式的通项,记作Tr+1= . r+1 数学 [思考1] 二项式定理中,项的系数与二项式系数相同吗,为什么? [思考2] 二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第k+1项是否相同? 数学 二项式系数 3.二项式系数的性质 中间一项 中间两项 (3)各二项式系数的和即 . 提示:令二项展开式中的a=1,b=-1,即可得到要证明的结论. 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)(a+b)n展开式中共有n项.(　 　) (2)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.(　 　) × × × (4)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(　 　) × 数学 B A 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 二项式定理的正用与逆用 思路点拨:可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开. 数学 数学 方法总结 (1)形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提. (2)逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从高到低, b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是正负相间,则是(a-b)n的形式. 数学 (2)化简(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 数学 探究点二 求二项展开式的特定项 数学 数学 方法总结 (1)求二项展开式的特定项的常见题型如下. ②求含xk的项(或xpyq的项). ③求常数项. ④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的常用方法如下. ①对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项). 数学 ②对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解. ③对于二项展开式中的整式项,其通项中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致. 数学 (2)求含x2的项的系数; (1)求n; 数学 (3)求展开式中所有的有理项. 数学 探究点三 展开式中的系数问题 [例3] 在(2x-3y)2 019的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数和; 解:(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a2 019. 令x=1,y=1得a0+a1+a2+…+a2 019=(-1)2 019=-1. 数学 [例3] 在(2x-3y)2 019的展开式中,求: (3)所有奇数项系数之和; (4)各项系数绝对值的和. 解:(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 019|=a0-a1+a2-a3+…-a2 019=52 019. 数学 方法总结 数学 [变式训练3] 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求: (1)a1+a2+…+a7; 解:(1)令x=0可得(1-0)7=a0,则a0=1. 令x=1可得(1-2×1)7=a0+a1+a2+…+a7, 即a0+a1+a2+…+a7=(-1)7=-1,所以a1+a2+…+a7=-1-a0=-2. (2)a1+a3+a5+a7; 数学 [变式训练3] 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求: (3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 解:(3)法一　由于偶次项系数是正数,奇次项系数是负数,所以|a0|+|a1|+ |a2|+…+|a7|=a0-a1+a2-…-a7. 由(2)中②式知|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2 187. 法二　依据(1+2x)7与(1-2x)7的关系可知 (1+2x)7=|a0|+|a1|x+|a2|x2+…+|a7|x7. 令x=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2 187. 数学 探究点四 求系数最大项问题 [例4] (1+2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 思路点拨:根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性,确定二项式系数最大的项. 数学 数学 方法总结 (1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n为奇数时,中间两项的二项式系数最大,n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,