3.1.1 椭圆的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

第3章　圆锥曲线与方程 3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆的标准方程 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 1.椭圆的定义 平面上到两个定点F1,F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的 ,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作 . [思考] (1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其他条件不 变,动点的轨迹是什么? 提示:(1)动点的轨迹是线段F1F2. (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”,其他条件不变,动点的轨迹是什么? 提示:(2)动点的轨迹不存在. 焦点 焦距 数学 2.椭圆的标准方程 (±c,0) (0,±c) 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆.(　 　) (2)到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.(　 　) (3)到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.(　 　) (4)到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆.(　 　) × × √ × 数学 D C 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 椭圆的标准方程 [例1] 根据下列条件,写出椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离和 为26; 数学 数学 方法总结 (1)根据椭圆标准方程的两种形式可知,焦点在哪一条坐标轴上,哪一个变量对应的分母大,即x2对应的分母大,焦点就在x轴上;y2对应的分母大,焦点就在y轴上. (2)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤. ①先确定焦点位置;②设出方程;③寻求a,b,c的等量关系;④求a,b的值,代入所设方程. (3)当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而简化了运算. 数学 数学 数学 数学 数学 数学 探究点二 椭圆的定义 数学 方法总结 (1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解. 数学 [变式训练2] 在本例中,若把∠F1PF2=60°,改为“∠PF1F2=90°”,其余条件不变,试求△PF1F2的面积. 数学 探究点三 与椭圆有关的轨迹问题 [例3] 已知动圆M过定点A(-3,0),并且内切于定圆B:(x-3)2+y2=64,求动圆圆心M的轨迹方程. 数学 方法总结 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程,应先根据动点具有的条件,验证是不是符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该常数 (定值)大于两点的距离,若符合,则动点的轨迹为椭圆,然后确定椭圆的方程.这就是用定义法求椭圆标准方程,要注意检验. 数学 [变式训练3] 已知动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64相内切,并且外切于定圆C2: x2+(y+3)2=4,求动圆圆心M的轨迹方程. 数学 课堂达标 D 数学 B 数学 3.(多选题)已知平面内动点P到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a,关于动点P的轨迹说法正确的是(　 　) A.点P的轨迹一定是椭圆 B.2a>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆 C.2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2 D.点P的轨迹一定存在 解析:由平面内动点P到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a, 可知当2a>|F1F2|时,动点P的轨迹是椭圆; 当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹不存在.故选BC. BC 数学 C 解析:由题意得2c=2,则c=1,故m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.故选C. 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0) 焦点坐标 a,b,c的关系 a2=b2+c2 2.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2| 等于(　 　) A.4 B.5 C.8 D