2.2.3 直线的一般式方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

2.2.3　直线的一般式方程 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 1.直线的一般式方程 方程Ax+By+C=0(A,B不同时为 ),称为直线的一般式方程,简称一般式. [思考1] 任意一条直线都有一般式方程吗? 提示:任意一条直线都有一般式方程. [思考2] 当A=0或B=0或C=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线? 0 ③若C=0,则Ax+By=0,表示过原点的一条直线. 数学 2.直线的方向向量 (1)把与直线l 的非零向量v都称为l的方向向量. (2)直线l的方向向量 唯一,它们都互相平行,互为非零实数倍. (3)斜率为k的直线的方向向量为 的非零实数倍. 3.直线的法向量 与直线l垂直的非零向量n= 称为直线l的法向量. 平行 不 (1,k) (A,B) 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). × (1)直线l的方向向量是唯一的.(　 　) (2)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. (　 　) (3)(A,B)是直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的法向量.(　 　) (4)直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个方向向量为(B,-A).(　 　) × √ √ 数学 D 2.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为(　 　) A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2+B2≠0 B 3.直线3x+y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则(　 　) A.k=3,b=6 B.k=-3,b=-6 C.k=-3,b=6 D.k=3,b=-6 (1,1) x=1 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 直线的一般式方程 [例1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; 解:(2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,化为一般式方程为 4x-y-2=0. 数学 (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴,y轴上的截距分别是-3,-1. [例1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. 数学 方法总结 求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项顺序排列. 易错警示:要注意斜率不存在或者为0时的情况. 数学 [变式训练1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (2)经过点B(4,2),且平行于x轴; 解:(2)由斜截式方程得y-2=0. 数学 [变式训练1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4). 数学 探究点二 直线的方向向量与法向量 数学 方法总结 斜率为k的直线的方向向量为λ(1,k)(λ为非零实数),直线Ax+By+C=0 (A,B不同时为0)的法向量为n=(A,B).已知直线的法向量为(A,B)时,可设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0). 数学 [变式训练2] 求经过点A(1,3),且法向量为(2,3)的直线l的方程. 解:因为直线l的法向量为(2,3),可设直线l的方程为2x+3y+C=0,将点A的坐标代入方程,得2+9+C=0,解得C=-11,所以直线l的方程为2x+3y-11=0. 数学 探究点三 与含参数的一般式方程有关的问题 [例3] 已知直线l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限; 数学 数学 (2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围. [例3] 已知直线l:5ax-5y-a+3=0. 数学 方法总结 直线恒过定点的求解策略如下. (1)将方程化为点斜式,求得定点的坐标. (2)①将方程转化为f(x,y)m+g(x,y)=0; ③(x0,y0)即为含参数直线经过的定点. 数学 [变式训练3-1] 本例中若直线不经过第四象限,则a的取值范围是什么? 解:由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3,要使直线不经过第四象限,则有0≤a≤3,所以a的取值范围为[0,3]. 数学 [变式训练3-2] 本例中将方程改为“x-(a-1)y-a-2=0”,若直线不经过第二象限,则a的取值范围又是什么? 解:(1)当a-1=0,即a=1时,直线为x=3,该直线不经过第二象限,满足要求. 数学 课堂达标 C 数学 B 2.(2022·陕西西安调研)直线x-y+1=0的倾斜角为(　 　) A.30° B.45° C.120° D.150° 解析:由题意得,直线y=