1.3.1—1.3.2 等比数列及其通项公式 等比数列与指数函数-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

1.3　等比数列 1.3.1　等比数列及其通项公式 1.3.2　等比数列与指数函数 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 1.等比数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项之比都等于 ,那么这个数列称为等比数列.这个常数叫作等比数列的 ,公比通常用字母q表示(q 0). 2 同一个常数 公比 ≠ q (3)等比数列的通项公式:an= . (4)在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am·an=ap·aq. a1qn-1 数学 数学 2.等比中项 (1)在两个数a,b之间插入数G,使a,G,b成 ,则G称为a与b的等比中项.其中,G2= . 等比数列 ab 孤立 数学 (2)等比数列的单调性. 递增 公比q 单调性 首项a1 q>1 0<q<1 q=1 q<0 a1>0 . 数列 . 数列 数列 摆动 数列 a1<0 . 数列 . 数列 递减 递减 递增 常 [思考2] 等比数列通项公式an=a1qn-1是关于n的指数型函数吗? 提示:不一定.如当q=1时,an是关于n的常数函数. 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). × (1)满足an+1=qan(n∈N+,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　 　) (2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(　 　) (3)如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数,那么这个数列是等比数列.(　 　) (4)常数列a,a,a,a,…一定是等比数列.(　 　) (5)任何两个实数都有等比中项,且其等比中项有两个.(　 　) × × × × 数学 D A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 3.在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则a5 等于(　 　) A.5 B.±5 C.4 D.±4 C 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 等比数列的概念与等比中项 数学 数学 (2)判断下列数列是否为等比数列. ①1,3,32,33,…,3n-1,…; ②-1,1,2,4,8,…; 数学 (2)判断下列数列是否为等比数列. ③a1,a2,a3,…,an,…. 解:③当a=0时,数列为0,0,0,…,是常数列,不是等比数列; 当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a. 数学 方法总结 判断一个数列是等比数列的常用方法 数学 [变式训练1] (1)(多选题)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(　　) A.b=-3 B.ac=9 C.ac=-9 D.b=3 数学 (2)(多选题)(2022·江苏连云港高二检测)已知在等比数列{an}中,满足a1= 1,公比q=-2,则(　　) A.数列{2an+an+1}是等比数列 B.数列{an+1-an}是等比数列 C.数列{anan+1}是等比数列 D.数列{log2|an|}是递减数列 解析:(2)因为在等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2, 所以an=1×(-2)n-1=(-2)n-1, 由此可得2an+an+1=2·(-2)n-1+(-2)n=0,A错误; an+1-an=(-2)n-(-2)n-1=-3·(-2)n-1,故数列{an+1-an}是等比数列,B正确; anan+1=(-2)n-1(-2)n=(-2)2n-1,故数列{anan+1}是等比数列,C正确; log2|an|=log22n-1=n-1,故数列{log2|an|}是递增数列,D错误.故选BC. 数学 探究点二 等比数列的通项公式 [例2] 在等比数列{an}中, (1)a4=2,a7=8,求an; 数学 (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. [例2] 在等比数列{an}中, 数学 数学 方法总结 与求等差数列的通项公式的基本量一样,求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式an=a1· qn-1(a1q≠0)中包含了四个量,已知其中的三个量,可以求得另一个量.求解时,要注意应用q≠0验证求得的结果. 数学 [变式训练2] 在等比数列{an}中,公比为q. 解:(1)法一　由a4=a1·q3, 得27=a1·(-3)3,得a1=-1, 所以a7=a1·q6=(-1)×(-3)6=-729. 法二　a7=a4·q3=27×(-3)3=-729. (1)若a4=27,q=-3