第五章 一元函数的导数及其应用（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用 （知识归纳+题型突破） 1、抽象概括能力：能通过平均速度的极限是瞬时速度，函数图象的割线斜率的极限是切线的斜率，抽象出函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，并进一步抽象出导数的概念. 2、推理论证能力：能利用导数对函数的单调性、极值、最大(小)值等性质进行分析、判断或求解；能准确使用导数的有关术语和数学符号进行数学表达，解决与函数有关的问题. 3、运算求解能力：能根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算导数；能通过求函数的导数、解不等式等数学运算来判断函数的单调性，求函数的极值和最大(小)值. 4、直观想象能力：能借助函数的图象直观认识函数的单调性与导数的正负之间的关系，能利用导数画出简单函数的图象，并由图象进一步认识函数的性质. 5、数学建模能力：能借助导数提升对函数模型的认识；能合理选择函数模型，解决增长率和优化等实际问题. 1、曲线的切线问题 （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 3、导数的四则运算法则 （1）两个函数和的和（或差）的导数法则： . （2）对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . （3）由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 4、复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 5、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 6、求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 7、由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 8、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 9、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 题型一 导数定义的理解 【例1】（2023·上海青浦·统考一模）若函数在处的导数等于，则的值为（    ）. A． B． C． D． 反思总结:导数定义理解特别注意自变量改变量，本例中自变量从变化到，自变量改变量为 巩固训练 1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）利用导数的定义计算值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 2．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）设函数在处可导且，则 ． 题型二 复合函数的导数 【例2】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 反思总结：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．解题时注意换元法的应用。