3.1.2 椭圆的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 1.椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0) 图象 对称性 对称轴:x轴和y轴,对称中心:(0,0) 范围 x∈[-a,a], y∈[-b,b] x∈[-b,b], y∈[-a,a] 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 轴长 短轴长|B1B2|=2b,长轴长|A1A2|=2a 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c 离心率 e=(0<e<1) [思考1] 椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么? 提示:最大距离为a+c;最小距离为a-c. [思考2] 椭圆方程+=1(a>b>0)中a,b,c的几何意义是什么? 提示:在椭圆方程+=1(a>b>0)中,a,b,c的几何意义如图所示,即a,b,c正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形. 2.点P(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系 点P在椭圆上⇔+=1; 点P在椭圆内部⇔+<1; 点P在椭圆外部⇔+>1. 3.直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系判断方法 联立消去y得一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 2 Δ>0 相切 1 Δ=0 相离 0 Δ<0 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长等于a.(　×　) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a-c.(　√　) (3)椭圆的长轴、短轴就是x轴和 y轴.(　×　) (4)椭圆+y2=1中,变量x的取值范围是[-2,2].(　×　) (5)椭圆的离心率e越小,椭圆越圆.(　√　) 2.椭圆6x2+y2=6的长轴端点坐标为(　D　) A.(-1,0),(1,0) B.(-6,0),(6,0) C.(-,0),(,0) D.(0,-),(0,) 3.椭圆x2+4y2=4的离心率为　　　　,焦距为　　　　.  答案:　2 　椭圆的几何性质 [例1] 求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 解:椭圆方程变形为+=1, 所以a=3,b=2, 所以c===. 所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a=6, 2c=2, 焦点坐标为F1(-,0),F2(,0), 顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2), 离心率e==. 求椭圆的几何性质时,应把椭圆方程化为标准方程,注意分清楚焦点的位置,这样便于直观地写出a,b的数值,进而求出c,求出椭圆的长轴长和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标等几何性质. [变式训练1] 若椭圆方程为9x2+16y2=144,求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 解:椭圆方程化成标准方程为+=1. 所以a=4,b=3,c==. 所以椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6, 离心率e==. 焦点坐标为F1(-,0),F2(,0);四个顶点的坐标分别为A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-3),B2(0,3). 　由椭圆的性质求椭圆方程 [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆过点(3,0),离心率e=; (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8. 解:(1)若焦点在x轴上,则a=3. 因为e==,所以c=, 所以b2=a2-c2=9-6=3. 所以椭圆的标准方程为+=1. 若焦点在y轴上,则b=3, 由e====, 解得a2=27. 所以椭圆的标准方程为+=1. 综上,椭圆的标准方程为+=1或+=1. (2)设椭圆的标准方程为+=1 (a>b>0). 如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形, OF为斜边A1A2的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, 所以c=b=4,所以a2=b2+c2=32, 故所求椭圆的标准方程为+=1. (1)用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法. (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是:①求出a2,b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方程. (3)在求解a2,b2时常用方程(组)思想,通常由已知条件与关系式a2=b2+c2,e=等构造方程(组)加以求解. [变式训练2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上,短轴长为2,离心率e=; (2)长轴长是短轴长的5倍,且过点 A(5,0). 解