3.1.1 椭圆的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆的标准方程 1.椭圆的定义 平面上到两个定点F1,F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距. [思考] (1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其他条件不变,动点的轨迹是什么? (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”,其他条件不变,动点的轨迹是什么? 提示:(1)动点的轨迹是线段F1F2. (2)动点的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0) 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) a,b,c的关系 a2=b2+c2 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆.(　×　) (2)到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.(　×　) (3)到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.(　√　) (4)到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆.(　×　) 2.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2| 等于(　D　) A.4 B.5 C.8 D.10 3.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为(　C　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 　椭圆的标准方程 [例1] 根据下列条件,写出椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26; (2)经过点P(1,),两焦点间的距离为2,焦点在x轴上. 解:(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).因为2a=26,所以a=13,又c=5,所以b2=a2-c2=144,所以椭圆的标准方程为+=1. (2)因为焦点在x轴上,所以设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).因为2c=2,所以a2=b2+1,又椭圆经过点P(1,),所以+=1,解得b2=3,所以a2=4,所以椭圆的标准方程为+=1. (1)根据椭圆标准方程的两种形式可知,焦点在哪一条坐标轴上,哪一个变量对应的分母大,即x2对应的分母大,焦点就在x轴上;y2对应的分母大,焦点就在y轴上. (2)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤. ①先确定焦点位置;②设出方程;③寻求a,b,c的等量关系;④求a,b的值,代入所设方程. (3)当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而简化了运算. [变式训练1] (1)若曲线+=1表示椭圆,则k的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1) (2)求适合下列条件的椭圆的标准方程. ①经过(2,-),(-1,)两点; ②过点(,-),且与椭圆+=1有相同的焦点. (1)解析:因为曲线+=1表示椭圆, 所以解得-1<k<1,且k≠0.故选D. (2)解:①法一　若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 若焦点在y轴上, 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得 解得 即a2=4,b2=8, 则a2<b2,与a>b>0矛盾,舍去. 综上,所求椭圆的标准方程为+=1. 法二　设椭圆的一般方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).将(2,-),(-1,)两点代入,得 解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. ②因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同, 所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16. 设所求椭圆的标准方程为 +=1(a>b>0). 因为c2=16,且c2=a2-b2, 故a2-b2=16.① 又点(,-)在椭圆上, 所以+=1,即+=1.② 由①②得b2=4,a2=20, 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 　椭圆的定义 [例2] 已知P为椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 解:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°, 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4, 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②