2.4 点到直线的距离-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.4　点到直线的距离 两点间的距离、点到直线的距离和两条平行直线间的距离 名称 条件 公式 两点 间的 距离 平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2) |AB|= 点到 直线 的距 离 点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0 d= 两平 行直 线间 的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0 d= [思考1] 点P(x0,y0)到直线l1:x=x1的距离是多少?点P(x0,y0)到直线l2:y=y1的距离为多少? 提示:|x0-x1|;|y0-y1|. [思考2] 在使用点到直线的距离公式时对直线方程有什么要求? 提示:要求直线的方程应化为一般式. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)当点在直线上时,点到直线的距离公式仍适用.(　√　) (2)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=b(b≠0)的距离d=y0-b.(　×　) (3)两直线x+y=m与x+y=2n的距离为.(　√　) (4)两直线x+2y=m与2x+4y=3n的距离为.(　×　) 2.原点到直线x+2y-5=0的距离是(　D　) A. B. C.2 D. 3.(多选题)已知A(a,3),B(3,3a+3)两点间的距离为5,则a的值可以为(　AB　) A.-1 B. C.2 D. 4.已知直线l1:x+y-1=0,l2:x+y+a=0,且两直线间的距离为 ,则a=　　　　.  答案:-3或1 　两点间的距离 [例1] (1)以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 (2)(2021·安徽池州高二期末)若直线l1:3x-y=0与l2:x+y-4=0交于点A,且B(2,0),则|AB|=　　　　　.  解析:(1)因为|AB|=,|AC|=, |BC|=3, 所以三角形为等腰三角形.故选B. (2)联立 解得 故A(1,3),又B(2,0), 则|AB|==. 答案:(1)B　　(2) 两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用. [变式训练1] (2022·贵州都匀期中)已知点 A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是(　　) A.2 B.4 C.5 D. 解析:根据中点坐标公式, 得=1,且=y. 解得x=4,y=1, 所以点P的坐标为(4,1),则点P(4,1)到原点的距离d==.故选D. 　点到直线的距离 [例2] 求点P0(-1,2)到下列直线的距离. (1)2x+y-10=0; (2)x=2. 思路点拨:对于(1)可用点到直线的距离公式求解,对于(2)除了公式法求距离外还可以用数形结合法求解. 解:(1)由点到直线的距离公式知 d===2. (2)法一　直线方程化为一般式为x-2=0. 由点到直线的距离公式知 d==3. 法二　因为直线x=2与y轴平行, 所以由图知d=|-1-2|=3. (1)在使用点到直线的距离公式时,首先把直线方程化为一般式,再利用公式求解. (2)在已知点到直线的距离求参数时,只需根据公式列方程求解参数即可. 易错警示:使用点到直线的距离公式时,要先把直线方程化为一般式. [变式训练2] (1)(2022·宁夏青铜峡高二月考)若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,求点P的坐标; (2)求点P0(-1,2)到直线y-1=0的距离; (3)求过点A(-1,2)且到原点的距离等于的直线方程. 解:(1)由点P在直线3x+y-5=0上, 设P(x0,5-3x0), 点P到直线x-y-1=0的距离为, 即=, 化简得|4x0-6|=2,解得x0=1或x0=2. 当x0=1时,y0=5-3×1=2, 当x0=2时,y0=5-3×2=-1, 所以点P的坐标为(1,2)或(2,-1). (2)法一　由点到直线的距离公式得 d==1. 法二　因为直线y-1=0与x轴平行, 所以由图知d=|2-1|=1. (3)当斜率不存在时,显然直线x=-1到原点的距离为1,不符合题意. 所以所求直线的斜率是存在的. 设所求直线的方程为y-2=k(x+1), 化成一般式为kx-y+2+k=0. 由题意得=,解得k=-1或-7. 故符合题意的直线方程为y-2=-(x+1)或y-2=-7(x+1), 即x+y-1=0或7x+y+5=0. 　两平行直线间的距离 [例3] 求两条平行直线l1:6x+8y=20和l2:3x+4y-15=0间的距离. 思路点拨:思路一,先在直线l1上任取一点,然后再求该点到直线l2的距离即为两条平行直线间的距离;思路二,直接应用两条平行线