2.2.3 直线的一般式方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.2.3　直线的一般式方程 1.直线的一般式方程 方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),称为直线的一般式方程,简称一般式. [思考1] 任意一条直线都有一般式方程吗? 提示:任意一条直线都有一般式方程. [思考2] 当A=0或B=0或C=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线? 提示:①若A=0,则y=-,表示与y轴垂直的一条直线. ②若B=0,则x=-,表示与x轴垂直的一条直线. ③若C=0,则Ax+By=0,表示过原点的一条直线. 2.直线的方向向量 (1)把与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量. (2)直线l的方向向量不唯一,它们都互相平行,互为非零实数倍. (3)斜率为k的直线的方向向量为(1,k)的非零实数倍. 3.直线的法向量 与直线l垂直的非零向量n=(A,B)称为直线l的法向量. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)直线l的方向向量是唯一的.(　×　) (2)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量.(　×　) (3)(A,B)是直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的法向量.(　√　) (4)直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个方向向量为(B,-A).(　√　) 2.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为(　D　) A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2+B2≠0 3.直线3x+y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则(　B　) A.k=3,b=6 B.k=-3,b=-6 C.k=-3,b=6 D.k=3,b=-6 4.(2022·辽宁六校协作体高二上期中)直线l:mx+y-1-m=0过定点　　　　,过此定点,且倾斜角为的直线方程为　　　　.  答案:(1,1)　x=1 　直线的一般式方程 [例1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)斜率是,且经过点A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴,y轴上的截距分别是-3,-1. 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=(x-5),化为一般式方程为x-y+3-5=0. (2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,化为一般式方程为 4x-y-2=0. (3)由两点式方程可知, 所求直线方程为=, 化为一般式方程为2x+y-3=0. (4)由截距式方程可得,所求直线方程为 +=1, 化为一般式方程为x+3y+3=0. 求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项顺序排列. 易错警示:要注意斜率不存在或者为0时的情况. [变式训练1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)斜率是-,经过点A(8,-2); (2)经过点B(4,2),且平行于x轴; (3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3; (4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4). 解:(1)由点斜式方程得y-(-2)=-(x-8),即x+2y-4=0. (2)由斜截式方程得y-2=0. (3)由截距式方程得+=1, 即2x-y-3=0. (4)由两点式方程得=, 即x+y-1=0. 　直线的方向向量与法向量 [例2] 若直线l的方程为+=1,求直线l的方向向量和法向量. 解:由方程+=1,得y=-2x+4,所以直线l的斜率k=-2, 因此向量(1,-2)是l的一个方向向量,所以直线l的方向向量为(λ,-2λ)(λ为非零实数). 由方程+=1,得2x+y-4=0,所以直线l的法向量为(2,1). 斜率为k的直线的方向向量为λ(1,k)(λ为非零实数),直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的法向量为n=(A,B).已知直线的法向量为(A,B)时,可设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0). [变式训练2] 求经过点A(1,3),且法向量为(2,3)的直线l的方程. 解:因为直线l的法向量为(2,3),可设直线l的方程为2x+3y+C=0,将点A的坐标代入方程,得2+9+C=0,解得C=-11,所以直线l的方程为2x+3y-11=0. 　与含参数的一般式方程有关的问题 [例3] 已知直线l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限; (2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围. (1)证明:法一　将直线l的方程整理为 y-=a(x-), 所以直线l的斜率为a,且过定点A(,), 而点A(,)在第一象限内,故不论a为何值,直线l总经过第一象限. 法二　直线l的方程可化为(5x-1)a-(5y-3)=0. 因为上式对任意的a总成立