1.2.3 等差数列的前n项和-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

1.2.3　等差数列的前n项和 等差数列的前n项和 (1)等差数列的前n项和公式是用倒序相加法推导的. (2)等差数列的前n项和公式. 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+d (3)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (4)等差数列的前n项和Sn的最值. ①若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值. ②若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值. ③特别地,若a1>0,d>0,则S1是Sn的最小值;若 a1<0,d<0,则S1是Sn的最大值. [思考1] an=Sn-Sn-1对任意n∈N+都成立吗? 提示:不是,只对n≥2,n∈N+成立. [思考2] 我们已经知道当公差d≠0时,等差数列的前n项和是关于n的二次函数Sn=n2+(a1-)n,类比二次函数的最值情况,等差数列的前n项和Sn何时有最大值?何时有最小值? 提示:由二次函数的性质可以得出,当a1<0,d>0时,Sn先减后增,有最小值;当a1>0,d<0时,Sn先增后减,有最大值;且n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起,一直到第n项an所有项的和.(　√　) (2)在等差数列{an}中,S4,S8,S12,…成等差数列.(　×　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn=An2+Bn.(　×　) (4)若等差数列的项数为偶数2n,则S偶-S奇=nd.(　√　) 2.(2021·安徽淮南一中高二开学检测)在等差数列{an}中,a3+a5+a7=12,则{an}的前9项和S9等于(　A　) A.36 B.48 C.56 D.72 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6=a17,a4=16,则an=　　　　.  答案:5n-4 4.已知数列{an}的通项公式an=-5n+2,则其前n项和Sn=　　　　　.  答案:- 　等差数列的基本量运算 [例1] 已知等差数列{an}. (1)a1=,a15=-,Sn=-5,求d和n; (2)a1=4,S8=172,求a8和d. 解:(1)因为a15=+(15-1)d=-, 所以d=-. 又Sn=na1+d=-5, 解得n=15或n=-4(舍去). (2)由已知,得S8===172, 解得a8=39. 又因为a8=4+(8-1)d=39,所以d=5. a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,a1,d,n,an,Sn五个量中可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算问题的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用. [变式训练1] 在等差数列{an}中: (1)a1=,d=-,Sn=-15,求n和an; (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d; (3)S5=24,求a2+a4. 解:(1)因为Sn=n·+·(-)=-15, 整理,得n2-7n-60=0, 解得n=12或n=-5(舍去). 所以a12=+(12-1)×(-)=-4. (2)由Sn===-1 022, 解得n=4. 又由an=a1+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d, 解得d=-171. (3)法一　设等差数列的首项为a1,公差为d, 则S5=5a1+d=24, 得5a1+10d=24,即a1+2d=. 所以a2+a4=a1+d+a1+3d=2(a1+2d)=2×=. 法二　由S5==24,得a1+a5=, 则a2+a4=a1+a5=. 　等差数列的前n项和的性质 [例2] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S4=8,S8=4,则S12=　　　　;  (2)等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n等于　　　　　;  (3)已知{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=　　　　　.  解析:(1)法一　设等差数列{an}的公差为d, 因为S4=8,S8=4, 所以4a1+×d=8,8a1+×d=4, 联立解得a1=,d=-, 则S12=12×+×(-)=-12. 法二　因为S4,S8-S4,S12-S8成等差数列, 即8,-4,S12-4成等差数列, 所以-8=8+S12-4, 所以S12=-12. (2)因为等差数列{an}共有2n+1项, 所以S奇-S偶=an+1=,