1.2.1-1.2.2 等差数列及其通项公式 等差数列与一次函数-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

1.2　等差数列 1.2.1　等差数列及其通项公式 1.2.2　等差数列与一次函数 1.等差数列及其通项公式 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母d表示. (2)等差中项:在两个数a,b之间插入数M,使a,M,b成等差数列,则M称为a与b的等差中项,M=. (3)等差数列的通项公式是用累加法推导的,以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d. (4)等差数列的性质. 两项关系 an=am+(n-m)d(n,m∈N+) 多项关系 若{an}为等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq [思考] 在等差数列{an}中,a1+an与a2+an-1,a3+an-2有什么关系? 提示:a1+an=a2+an-1=a3+an-2. 2.等差数列与一次函数 (1)等差数列与一次函数的关系. 对于一般的等差数列{an},其通项公式为 an=a1+(n-1)d,将其中的正整数自变量n换成实数自变量x,得到y=a1+(x-1)d=dx+(a1-d),当d≠0时,是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d);当d=0时,y=a1(a1为常数),这两种情形的函数图象都是直线.等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点(n,an)组成. (2)等差数列的单调性. 当d>0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等差数列{an}递增;当d<0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减;当d=0时,y=a1为水平方向的直线,数列为常数列. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)数列4,4,4,…是等差数列.(　√　) (2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4,则{an}(n>4)一定是等差数列.(　×　) (3)等差数列{an}中,a1,n,d,an任给三个,可求另一个.(　√　) (4)等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数.(　×　) 2.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为(　A　) A.an=3n-1 B.an=2n+1 C.an=2n+3 D.an=3n+2 3.若x+1与y-1的等差中项为5,则x+y等于(　B　) A.5 B.10 C.20 D.不确定 4.在等差数列{an}中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13=　　　　.  答案:40 　等差数列的判定 [例1] 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,在数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是不是等差数列. 解:法一　由题意可知an=a1+(n-1)d(a1,d为常数),则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4. 由于bn是关于n的一次函数(或常函数,当d=0时), 故{bn}是等差数列. 法二　根据题意,知bn+1=3an+1+4,则bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d(常数). 由等差数列的定义知,数列{bn}是等差数列. 等差数列的判定方法 (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+)⇔{an}为等差数列. (2)通项公式法:an=An+B(A,B是常数,n∈N+)⇔{an}为等差数列. [变式训练1] 数列{an}的通项公式为an=4-3n,则此数列(　　) A.是公差为4的等差数列 B.是公差为3的等差数列 C.是公差为-3的等差数列 D.是首项为4的等差数列 解析:因为an+1-an=4-3(n+1)-(4-3n)=-3,a1=1,所以{an}是首项为1,公差为 -3 的等差数列.故选C. 　等差中项 [例2] 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列. 解:因为-1,a,b,c,7成等差数列, 所以b是-1与7的等差中项. 所以b==3. 又a是-1与3的等差中项, 所以a==1. 又c是3与7的等差中项, 所以c==5. 所以该数列为-1,1,3,5,7. a,b,c三个数成等差数列的充要条件是b=(或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如要证{an}为等差数列,可证 2an+1=an+an+2(n∈N+). [变式训练2] 已知三个数成等差数列,且是递增数列,它们的和为18,平方和为116,求这三个数. 解:法一　设这三个数分别为a,b,c,且a<b<c, 则由题意,得 解得a=4,b=6,c=8. 故这三个数是4,6,8. 法二　设这三个数分别为a-d,a,a+d, 由已