专题21 分式的恒等变形技巧-2023-2024学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（人教版）

专题21 分式的恒等变形技巧（原卷版） 第一部分 典例剖析+针对训练 技巧一 分离常数法 题型一 直接分离常数 典例1 （2023秋•东平县期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：　 　（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：　 ． （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 针对训练 1．（2020春•玄武区期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：22．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：1； 解决下列问题： （1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式化为带分式； （3）先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 题型二 待定系数法分离常数 典例2 （2020秋•连山区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b． 因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b， 所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b． 所以，解得． 所以3x+1． 这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式． 根据你的理解决下列问题： （1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11，求m2+n2+mn的最小值． 针对训练 1．（2023春•玄武区期中）阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b ∵对于任意x上述等式成立 ∴解得： ∴ 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为　 ； （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　； （3）当﹣1＜x＜1时，求分式的最小值． 技巧二 恒等变形 题型一 整体换元法恒等变形 典例3 （2021春•乐至县月考）如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9，，则的值为　　． 针对训练 1．已知x+y+z＝0，求的值． 题型二 利用分式的性质恒等变形 典例4（2020•浙江自主招生）已知：abc＝1，求的值． 针对训练 1．（2022秋•宣州区期末）设x，y，z为互不相等的非零实数，且．求证：x2y2z2＝1． 第二部分 专题提优训练 1．（2021春•镇海区期末）能使分式值为整数的整数x有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2021秋•召陵区期末）对于非负整数x，使得是一个正整数，则x的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（2021秋•和平区期末）已知abc≠0且a+b+c＝0，则a（）+b（）+c（）的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣3 4．（2020•浙江自主招生）如果a，b，c，d是正数，且满足a+b+c+d＝2，4，那么的值为（　　） A．1 B． C．0 D．4 5．（2016春•拱墅区期中）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝8，那么的值是（　　） A．正数 B．零 C．负数 D．正、负不能确定 6．（2015春•嵊州市期末）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 解：由于分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3＝（﹣x2+1）（x2+a）+b ∴﹣x4﹣x2+3＝﹣x4﹣ax2+x2+a+b∴﹣x4﹣x2+3＝﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b） ∵对于任意x，上述等式均成立，∴∴ ∴x2+2 这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和 阅读上面的材料后，请你解答下列问题 （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）试说明的最小值为﹣4． 7．（1）已知b2＝ac，求的值； （2）已知x、y、z满足，