4.2.2 等差数列前n项和公式（第2课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列前项和公式 第2课时 人教A版（2019）选择性必修第二册 学习目标 1.掌握等差数列前项和公式与函数的联系. 2.掌握等差数列前项和公式的最大值的求解方法. 3. 等差数列前项和公式的实际运用. 4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象 一、复习导入 等差数列前项和公式： = （1） = + （2） 倒序相加法 二、新课讲授 例1 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排所少个座位？ 分析：“从第2排起后一排都比前一排多两个座位”→等差数列{} ， “报告厅共有20排座位”→ “容纳800个座位”→ “第1排应安排所少个座位？”→ 4 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{} ，其前项和为. 根据题意，数列{}是一个公差为2的等差数列，且. 根据= + ，可得 =× = 解得 因此，第1排应安排21个座位. 例2 已知等差数列{} 的前项和为，若，公差=-2， 是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由. 分析： … =28 … 追问1:从到是递增的，为什么呢？ ，因为到都是正数，所以. 追问2: 会不会一直递增呢？ ，因为公差＜0，数列{}是递减数列，当减小到不大于0时， 就不再增大了. 追问3: 哪些项的和是的最大值呢？ 正数项的和就是的最大值. 追问4: 哪些项是正数呢？ 利用通项公式进行求解. 解：由，得0， 即， 所以{}是递减数列. 由10， ， 得10+ × . 令0，解得＜6. 所以，当＜6时， 0. 当=6时， 0. 当＞6时， 0. 所以， ＜ ＜… ＜ = ＞ …. 所以当=5或6时， 最大. 因为=× )= 所以 最大为30. 事实上，当时，由于，所以就是由到的变化量， 的正负体现了的增减，增减明确了，最大（小）值就找到了. 追问5: 找到最大（小）值的关键是分析的增减，你还有其他方法研究的增减情况吗？ 看作关于的函数，考察函数的单调性. 解法二：由， 因为=× )= = = 所以，当取与最接近的整数，即5或6时， 最大，最大值为30. 问题1:对于一般的等差数列，前项和公式是否都具有关于的二次函数的形式呢？ = + （2） = + （3） 当≠0时， 具有关于的二次函数的形式. 追问1:公式3还有哪些特点呢？ = + （3） ①常数项为0. ②具有= + 的结构. ③二次项系数的2倍等于公差.（） ④二次项系数与一次项系数之和等于首项.（ + = ） 例3 等差数列{} 满足310， 1220，求 解：设具有= + ，，∈. 由310， 1220，得 解得 所以，= + . 追问2:如果数列{} 的前项和+，其中为常数，那么这个数列具有怎样的性质？ 猜想：如果数列{} 的前项和+，那么 当=0时，数列{} 是等差数列 当≠0时，数列{} 从第二项起后续各项组成一个等差数列 判断数列{} 是不是等差数列 定义： = 求出数列{}的通项公式 数列{}的前项和公式 ①当=1时， = ； ②当≥2时， = ; ③结论 16 证明：当=1时， = = + 当≥2时， = + 所以， 当≥2时， = 说明：第二项起的后续各项组成等差数列. 而= ) 所以，当=0时，数列{} 是等差数列. 当≠0时，数列{} 从第二项起后续各项组成一个等差数列 练习 在等差数列{} 中，52，147， {}前求使得达到最大值时的值. 解：（法一）由题意可得， 解得 所以，= +()(3)= 3 +61. 令≥3 +61≥0， 解得≤20， 所以≥0， 0， 故当=20时， 达到最大值. 解：（法二）由题意可得， 解得 所以，= +(3)= + . 则时，函数 + 达到最大值， 因为，故当=20时， 达到最大值. 三、课堂小结 1、等差数列前项和公式与二次函数的联系. 2、等差数列前项和公式的最大值的求解. 3、等差数列前项和公式的应用.（函数与方程） 四、作业布置 课本P24：练习 第2、3题 $$