3.5 圆锥曲线的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

3.5　圆锥曲线的应用 基础巩固 1.如图,南北方向的公路l,A地在公路的正东2 km处,B地在A地东偏北30°方向2 km处,河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地距离相等,现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向A,B两地转运货物,经测算从M到A,M到B修建公路的费用均为 a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是(　C　) A.(2+)a万元 B.2(+1)a万元 C.5a万元 D.6a万元 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,分别过点M,B,A作直线 MM′⊥l,BB′⊥l,AA′⊥l,垂足分别为M′,B′,A′,过点B作BB1⊥AA′,垂足为B1. 由已知可得|AB1|=|AB|·cos 30°=2×=3. 又|AA′|=2,可得|BB′|=3+2=5. 由抛物线的定义可得|AM|=|MM′|. 所以修路费用为a(|AM|+|MB|)=a(|MM′|+|MB|)≥a|BB′|=5a.故 选C. 2.喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶部A处,喷出的水流的最高点为B,距地面 5 m,且与管柱OA相距4 m,水流落在以O为圆心,半径为 9 m 的圆上,则管柱OA的长为(　D　) A.0.9 m B.1.2 m C.1.5 m D.1.8 m 解析:如图所示,建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py (p>0). 又点C(5,-5)在抛物线上,所以25=-2p·(-5),2p=5,即x2=-5y. 又因为点A(-4,y0)在抛物线上, 所以16=-5y0,y0=-3.2, 所以|OA|=5-3.2=1.8(m),即管柱OA的长是1.8 m.故选D. 3.(多选题)如图,两个椭圆 +=1,+=1内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上的任意一点,下列四个判断中的正确命题为(　BC　) A.P到F1(-4,0),F2(4,0),E1(0,-4),E2(0,4)四点的距离之和为定值 B.曲线C关于直线y=x,y=-x均对称 C.曲线C所围区域面积必小于36 D.曲线C总长度不大于6π 解析: 逐一考查所给的说法. 考虑点P不是交点的情况,若点P在椭圆+=1上,P到F1(-4,0), F2(4,0)两点的距离之和为定值,到E1(0,-4),E2(0,4)两点的距离之和不为定值,故A错; 两个椭圆关于直线y=x,y=-x均对称,曲线C关于直线y=x,y=-x均对称,故B正确; 曲线C所围区域在边长为6的正方形内部,所以面积必小于36,故C正确; 曲线C所围区域在半径为3的圆外部,所以曲线的总长度大于圆的周长6π,故D错误.故选BC. 4.某卫星的运行轨道是以地球的中心F为左焦点的椭圆,测得该卫星的近地点A距地面r1千米,远地点B距地面r2千米,地球半径为R千米,则关于该运行轨道有以下三种说法: ①焦距长为r2-r1; ②短轴长为; ③离心率 e=. 以上说法正确的是　　　　.(填序号)  解析:设椭圆轨道的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则a+c= r2+R,a-c=r1+R,所以a=,c=,所以b== .所以e==. 答案:①③ 5.有一幅椭圆形彗星轨道图,长 4 cm,高2 cm.如图所示,已知O为椭圆中心,A1,A2是椭圆长轴的两端点,太阳位于椭圆的左焦点F处.试建立恰当的坐标系,求出椭圆方程,并求当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离. 解:建立如图所示的平面直角坐标系,设椭圆方程为 +=1(a>b>0). 依题意有2a=4,2b=2, 所以a=2,b=,c=1, 故椭圆方程为+=1,F为(-1,0). 将x=-1代入椭圆方程得y=±,即彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离为 cm. 6.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P的长为1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2 m,P距离抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计为多少m?(精确到整数位) 解:如图所示,建立平面直角坐标系, 设抛物线方程为x2=-2py(p>0), 依题意有P′(1,-1)在此抛物线上, 代入得p=, 故得抛物线方程为x2=-y. 又点B在抛物线上,将点B(x,-2)代入抛物线方程得x=, 即|AB|=,则水池半径应为|AB|+1=+1, 因此所求水池的直径为2(1+),约为5 m, 即水池的直径至少应设计为5 m. 能力提升 7.如图所示,B地在A地的正东方向4 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任一点M到A的距离比到B的距离远 2 km,则河流沿岸PQ(曲线)的标准方程为(　C　) A.y2-=1 B.y2-=1(y≥1) C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1 解析:以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系如图. 则A(-2,0),B(