3.3.1 抛物线的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 基础巩固 1.焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是(　B　) A.y2=20x B.x2=20y C.y2=x D.x2=y 解析:由5=得p=10,且焦点在y轴正半轴上,故抛物线的标准方程为x2=20y.故选B. 2.若抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为(　A　) A.x=-4 B.x=-3 C.x=-2 D.x=-1 解析:把y=0代入2x+3y-8=0得2x-8=0,解得x=4, 所以抛物线的焦点坐标为(4,0), 所以抛物线的准线方程为x=-4.故选A. 3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为(　D　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:因为x2=4y,当y=4时,点A的坐标为(4,4)或(-4,4),又抛物线的焦点为(0,1), 所以点A与抛物线的焦点的距离为5.故选D. 4.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　B　) A. B.2 C. D.3 解析:由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线, 设抛物线的焦点为F,则F(1,0), 所以动点P到l2的距离等于|PF|, 所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离, 所以其最小值是=2.故选B. 5.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则抛物线方程为　　　　,焦点坐标为　　　　.  解析:抛物线准线方程为x=-,圆心坐标为(3,0),半径为4,依题意3- (-)=4,所以p=2. 所以抛物线方程为y2=4x,焦点坐标为(1,0). 答案:y2=4x　(1,0) 6.(2021·河北武邑高二期末)若抛物线的焦点与椭圆+=1的左焦点重合,求抛物线的方程. 解:椭圆+=1中,因为a2=7,b2=3, 所以c2=a2-b2=4, 所以椭圆的左焦点坐标为(-2,0). 因为抛物线的焦点与椭圆+=1的左焦点重合,为(-2,0), 所以p=4,抛物线的方程是y2=-8x. 7.抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M的横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求此抛物线方程和点M的坐标. 解:设焦点为F(-,0), 点M到准线的距离为d, 则d=|MF|=10, 即9+=10, 所以p=2, 所以抛物线方程为y2=-4x. 将点M(-9,y)代入抛物线的方程,得y=±6, 所以点M的坐标为(-9,6)或(-9,-6). 8.求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线 方程. (1)过点(-1,2); (2)焦点在直线x-2y-4=0上. 解:(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2py(p>0),因为抛物线过点(-1,2),所以4=-2p×(-1)或(-1)2=2p×2. 所以p=2或p=.故所求的抛物线的标准方程为y2=-4x或x2=y,对应的准线方程分别为x=1,y=-. (2)令y=0得x=4,令x=0得y=-2,所以抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0,-2). 当焦点坐标为(4,0)时,=4,所以p=8,此时抛物线方程为y2=16x; 当焦点坐标为(0,-2)时,=|-2|, 所以p=4,此时抛物线方程为x2=-8y. 故所求的抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-8y,对应的准线方程分别是x=-4,y=2. 能力提升 9.(多选题)抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,圆心M(0,1),点P为劣弧 上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线于点N,交抛物线的准线于点H,则△PMN的周长的可能取值是(　BC　) A.8 B.8.5 C.9 D.10 解析:由题意,可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点,根据抛物线的 定义, 可得|MN|=|NH|, 故△PMN的周长l=|NH|+|NP|+|MP|=|PH|+4, 由不妨设点B在第一象限,得点B(2,3). 所以|PH|的取值范围为(4,6). 所以△PMN的周长的取值范围为(8,10). 故B,C满足条件. 故选BC. 10.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(　C　) A.2 B.2 C.2 D.4 解析:抛物线C的准线方程为x=-,焦点F(,0),由|PF|=4及抛物线的定义知,点P的横坐标xP=3,从而yP=±2,所以S△POF= |OF|·|yP|=××2=2.故选C. 11.已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y