3.1.2 椭圆的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 基础巩固 1.已知焦点在y轴上的椭圆+=1(a>0)的焦距为4,则该椭圆的长轴长为(　B　) A.4 B.8 C.2 D.2 解析:由焦点在y轴上的椭圆+=1(a>0)的焦距为 4,可得a2-4=12,解得a=4, 所以长轴长为2a=8.故选B. 2.对椭圆C1:+=1(a>b>0)和椭圆C2:+=1(a>b>0)的几何性质的表述正确的是(　D　) A.范围相同 B.顶点坐标相同 C.焦点坐标相同 D.离心率相同 解析:椭圆C1:+=1(a>b>0)的范围是-a≤x≤a,-b≤y≤b,顶点坐标是(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),焦点坐标是(-c,0),(c,0),离心率 e=;椭圆C2:+=1(a>b>0)的范围是 -a≤y≤a,-b≤x≤b,顶点坐标是(-b,0),(b,0),(0,-a),(0,a),焦点坐标是(0,-c),(0,c),离心率e=.只有离心率相同.故选D. 3.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为(　D　) A. B. C. D. 解析:依题意椭圆的焦距和短轴长相等,故b=c,a2-c2=c2,所以e=.故选D. 4.中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴3等分,则此椭圆的标准方程是(　A　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:因为2a=18,2c=·2a=6, 所以a=9,c=3,b2=a2-c2=81-9=72. 所以椭圆的标准方程为+=1. 故选A. 5.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短轴长为4的椭圆方程是　　, 离心率为　　　　.  解析:依题意得所求椭圆的焦点坐标为(0,),(0,-),故c=,又2b=4,所以b=2,a2=b2+c2=25,故所求椭圆方程为+=1.因为a==5,所以e==. 答案:+=1　 6.已知点P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过点P引一条弦,使此弦被点P平分,则此弦所在直线的方程为　　　　.  解析:由题意知此弦所在直线的斜率存在,设斜率为k,且弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 两式相减得+=0. 因为x1+x2=2,y1+y2=2, 所以x1-x2+2(y1-y2)=0, 则k=-, 所以此弦所在直线的方程为y-1=-(x-1), 即x+2y-3=0. 答案:x+2y-3=0 7.已知椭圆的标准方程为+=1. (1)求椭圆的长轴长和短轴长; (2)求椭圆的离心率; (3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点,并且经过点P(-4,1)的椭圆 方程. 解:(1)椭圆的长轴长为2a=6,短轴长为2b=4. (2)c==, 所以椭圆的离心率e==. (3)若以此椭圆的长轴端点为短轴端点,则b′=3, 可设所求椭圆方程为+=1(a′>3), 又椭圆过点P(-4,1), 将点P(-4,1)代入得+=1, 解得a′2=18.故所求椭圆方程为+=1. 8.求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,其离心率为,焦距为8; (2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到长轴上同侧顶点的距离为. 解:(1)由题意知2c=8,c=4, 所以e===, 所以a=8,从而b2=a2-c2=48, 所以所求椭圆的标准方程是+=1. (2)由已知得 所以 从而b2=9, 所以所求椭圆的标准方程为+=1或+=1. 9.如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率. 解:设椭圆的方程为+=1(a>b>0).如题图所示,则有F1(-c,0), F2(c,0),A(0,b),B(a,0),直线PF1的方程为x=-c, 代入方程+=1,得y=±, 所以P(-c,). 又PF2∥AB,所以△PF1F2∽△AOB. 所以=,所以=, 所以b=2c,所以b2=4c2,所以a2-c2=4c2, 所以=,所以e=. 能力提升 10.(多选题)直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的值可以是(　BD　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由 可得(3+m)x2+4mx+m=0,所以Δ=(4m)2-4m(3+m)>0,解得m>1或m<0. 又因为m>0且m≠3, 所以m>1且m≠3.故选BD. 11.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是(　D　) A. B. C. D. 解析:因为=2,所以|AP|=2|PB|. 设椭圆的中心为O, 则PO∥BF, 所以==, 即=,a=2c, 所以e==.