2.7 用坐标方法解决几何问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

2.7　用坐标方法解决几何问题 基础巩固 1.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹方程是(　A　) A.(x-2)2+y2=4 B.(x+2)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=4 解析:设P(x,y),由|PA|=2|PB|,得=2, 化简得x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.故选A. 2.与两点(-3,0),(3,0)距离的平方和等于38的动点的轨迹方程是(　B　) A.x2-y2=10 B.x2+y2=10 C.x2+y2=38 D.x2-y2=38 解析:设动点的坐标为(x,y),由题意得(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=38, 化简得x2+y2=10.故选B. 3.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,∠APB= 60°,则动点P的轨迹方程为(　B　) A.x2-y2=4 B.x2+y2=4 C.x2+y2=18 D.x2-y2=36 解析:设点P(x,y),圆x2+y2=1的圆心为O,因为∠APB=60°,OP平分 ∠APB,所以∠OPB=30°.因为|OB|=1,∠OBP为直角,所以|OP|=2,所以x2+y2=4.故选B. 4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是　　　. 解析:设圆上任一点为Q(s,t),PQ的中点为A(x,y),则解得代入圆的方程,得(2x-4)2+(2y+2)2=4, 整理得(x-2)2+(y+1)2=1. 答案:(x-2)2+(y+1)2=1 5.在圆x2+y2=9中,过点P(1,2)的弦的中点的轨迹方程为　　　　. 解析:设弦的中点为M,圆心为O,则OM⊥PM,所以点M在以OP为直径的圆上,故所求轨迹方程为(x-)2+(y-1)2=. 答案:(x-)2+(y-1)2= 6.已知矩形相邻两个顶点是A(-1,3),B(-2,4),若它的对角线交点在x轴上,求另外两顶点C,D的坐标. 解:设对角线交点为P(x,0),则|PA|=|PB|, 即(x+1)2+(0-3)2=(x+2)2+(0-4)2, 解得x=-5, 所以对角线交点为P(-5,0). 所以xC=2×(-5)-(-1)=-9, yC=2×0-3=-3,即C(-9,-3). xD=2×(-5)-(-2)=-8, yD=2×0-4=-4,所以D(-8,-4).所以另外两顶点的坐标为C(-9,-3), D(-8,-4). 7.如图,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得 |PM|=|PN|.试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程. 解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系(图略),则O1(-2,0),O2(2,0). 由已知|PM|=|PN|, 可得|PM|2=2|PN|2. 因为两圆的半径均为1, 所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33, 所以所求轨迹方程为(x-6)2+y2=33(或x2+y2-12x+3=0). 8.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 一半. 证明:以线段BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设A(a,b),C(c,0)(c>0),则B(-c,0). 线段AB的中点E的坐标是(,), 线段AC的中点F的坐标是(,), 则|EF|==c. 因为|BC|=2c, 所以|EF|=|BC|. 又点E,F的纵坐标相同, 所以EF∥BC. 综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 能力提升 9.已知点A(-1,3),B(3,1),点C在坐标轴上,∠ACB=90°,则满足条件的点C的个数是(　C　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:若点C在x轴上, 设C(x,0),由∠ACB=90°, 得|AB|2=|AC|2+|BC|2, 即[3-(-1)]2+(1-3)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12,解得x=0或x=2. 若点C在y轴上, 设C(0,y),同理可求得y=0或y=4. 综上,满足条件的点C有3个.故选C. 10.△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,如图所示.试用坐标法证明:|AE|=|CD|. 证明:如图所示,以点B为坐标原点,AC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c,则A(-a,0),C(c,0), E(,),D(-,),于是由两点间的距离公式, 得|AE|==, |CD|==, 所以