1.4 数学归纳法-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

*1.4　数学归纳法 基础巩固 1.用数学归纳法证明等式“1+3+5+…+(2n-1)=n2”时,从n=k(n∈N+)到n=k+1左边需增加的代数式为(　D　) A.2k-2 B.2k-1 C.2k D.2k+1 解析:等式“1+3+5+…+(2n-1)=n2”中, 当n=k时,等式的左边=1+3+5+…+(2k-1), 当n=k+1时,等式的左边=1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+…+ (2k-1)+(2k+1), 所以从n=k到n=k+1左边需增加的代数式为2k+1.故选D. 2.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)时,从n=k(n∈N+)到n=k+1左边需增乘的代数式是(　C　) A.2k+1 B. C.2(2k+1) D. 解析:当n=k+1时,左边=(k+1+1)·(k+1+2)·…·(k+1+k+1) =(k+1)·(k+2)·(k+3)·…·(k+k)· =(k+1)·(k+2)·(k+3)·…·(k+k)·2(2k+1).故选C. 3.已知f(n)=+++…+,则(　D　) A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=+ B.f(n)共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=++ C.f(n)共有(n2-n)项,当n=2时,f(2)=+ D.f(n)共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2)=++ 解析:结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数,共有(n2-n+1)项,且f(2)=++.故选D. 4.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+(n∈N+)时,则从n=k(k≥1,n∈N+)到n=k+1,左边所要添加的项是(　D　) A. B.- C.- D.- 解析:因为当n=k时,左边=1-+-+…+-, 当n=k+1时,左边=1-+-+…+-+-, 所以由n=k到n=k+1左边增加了-.故选D. 5.如果命题p(n)对所有正偶数n都成立,则用数学归纳法证明时,先验证n=　　 　成立.  答案:2 6.数列{an}中,已知a1=1,当n≥2(n∈N+)时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是　　 　　.  解析:因为a1=1, 所以a2=a1+2×2-1=4,a3=a2+2×3-1=9,a4=a3+2×4-1=16, 猜想:an=n2. 答案:an=n2 7.用数学归纳法证明:2+22+…+2n-1=2(2n-1-1)(n>2,n∈N+). 证明:(1)当n=3时,左边=2+22=6, 右边=2(22-1)=6,等式成立; (2)假设当n=k(k≥3,k∈N+)时,等式成立, 即2+22+…+2k-1=2(2k-1-1), 则当n=k+1时, 2+22+…+2k-1+2k=2(2k-1-1)+2k=2·2k-2=2(2k-1)=2[2(k+1)-1 -1]. 所以当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知,等式对任意n>2,n∈N+都成立. 能力提升 8.一批花盆堆成三角形垛,顶层一个,以下各层排成正三角形,逐层每边增加一个花盆,第n层和第(n+1)层花盆总数分别是f(n)和f(n+1),则f(n)与f(n+1)的关系为(　A　) A.f(n+1)-f(n)=n+1 B.f(n+1)-f(n)=n C.f(n+1)-f(n)=2n D.f(n+1)-f(n)=1 9.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得 n=k+2时命题也成立,则(　B　) A.该命题对于n>2的自然数n都成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与k的取值无关 D.以上答案都不对 解析:由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时命题成立,故该命题对所有的正偶数都成立.故选B. 10.k棱柱有f(k)(k≥3,n∈N+)个对角面,则k+1棱柱的对角面个数f(k+1)=　　　　　　　.  解析:当k棱柱变为k+1棱柱时,新增的一条棱与和它不相邻的(k-1)条棱确定(k-2)个对角面,而原来的一个侧面变为对角面,所以共增加(k-1)个对角面,所以f(k+1)=f(k)+k-1. 答案:f(k)+k-1 11.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=(n≥2,n∈N+),当验证n=2时,左端的式子为　　　　　　,当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为　　　　　　　　　.  解析:1+2+3+…+n2=(n≥2,n∈N*),当验证n=2时, 左端的式子为1+2+3+4. n=k时,等式左端=1+2+…+k2, 当n=k+1时, 等式左端=1