1.3.1—1.3.2 等比数列及其通项公式 等比数列与指数函数-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

1.3　等比数列 1.3.1　等比数列及其通项公式 1.3.2　等比数列与指数函数 基础巩固 1.已知等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a1等于(　B　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 解析:在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a1===-1.故选B. 2.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于(　C　) A.6 B.-6 C.±6 D.±12 解析:由题意得a==,b2=(-1)×(-16)=16,b=±4,所以ab=±6.故选C. 3.已知等比数列{an}中,a6=4,a8=8,则a10 等于(　D　) A.5 B.6 C.14 D.16 解析:法一　依题意,在等比数列{an}中,a6=4,a8=8,所以q2===2.所以a10=a8×q2=8×2=16,故选D. 法二　由等比数列的性质知a6·a10=, 解得a10=16.故选D. 4.已知{an}为等比数列,a5a6=-8,则a1a10 等于(　D　) A.7 B.5 C.-5 D.-8 解析:已知{an}为等比数列,a5a6=-8,则a1a10=a5a6=-8.故选D. 5.在正项等比数列{an}中,若3a1,a3,2a2成等差数列,则{an}的公比q= 　　 　　.  解析:因为在正项等比数列{an}中,3a1,a3,2a2成等差数列, 所以 解得q=3.所以{an}的公比q=3. 答案:3 6.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=　　　　. 解析:由(a+1)2=(a-1)(a+4), 得a=5,即a1=4,a2=6,a3=9, 则q=,an=a1·qn-1=4×()n-1=. 答案: 7.已知数列{an}的前n项和为Sn=2-an.求证:数列{an}是等比数列. 证明:Sn=2-an,Sn+1=2-an+1, an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1, 得an+1=an. 又S1=2-a1=a1,a1=1≠0, 所以=, 所以数列{an}是等比数列. 8.在等比数列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求数列{an}的通项公式. 解:由a4a7=-512,知a3a8=-512. 解方程组 得或 因为公比q为整数,所以q==-2, 所以an=a3qn-3=-4×(-2)n-3=(-1)n-2×2n-1. 9.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,求. 解:由题意知a3是a1和a9的等比中项, 所以=a1a9, 所以(a1+2d)2=a1(a1+8d), 得a1=d, 所以==. 能力提升 10.(多选题)已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是(　AD　) A.{} B.{log2(an)2} C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2} 解析:由数列{an}是等比数列,设其公比为q,在A中,==,所以{}一定是等比数列,故A正确;在B中,假设an=2n,则log2(an)2= log222n=2n,不是等比数列,故B错误;在C中,若公比q=-1,则an+an+1=0,故数列{an+an+1}不一定是等比数列,故C错误;在D中,an+an+1+an+2= an(1+q+q2),所以{an+an+1+an+2}是等比数列,故D正确.故选AD. 11.设各项为正数的等比数列{an}中,公比q=2,且a1·a2·a3·…· a30=230,则a3·a6·a9·…·a30等于(　C　) A.230 B.210 C.220 D.215 解析:因为a1·a2·a3·…·a30=230,所以·q1+2+3+…+29=·=230,所以a1=, 所以a3·a6·a9·…·a30=·(q3=(×22)10×(23)45=220. 故选C. 12.已知等比数列{an}满足:a1+a7=9,a2a6=8,且an<an+1,则a4=　　　　, q=　　 　　.  解析:等比数列{an}满足a1+a7=9, a2a6=8=a1a7, 解得a1=1,a7=8或a1=8,a7=1. 因为an<an+1, 所以取a1=1,a7=8,且q>1. 所以a4===2,q6=8,解得q=. 答案:2　 13.已知递增等比数列{an}满足a2+a3=6a1,则{an}的前三项依次是 　　　　.(填出满足条件的一组即可)  解析:因为等比数列的项an≠0,故由a2+a3=6a1,得q+q2=6,所以q=2或q=-3.若q>1,则a1>0时即可满足