离散型随机变量分布列讲义-2024届高三艺术生数学一轮复习

9.4离散型随机变量及其分布列与数字特征 一、离散型随机变量 1、(1)随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量. 二、离散型随机变量的分布列 1、定义；设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表 为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列． 分布列的两个性质:①，；②. 三、离散型随机变量的均值与方差 1、(1)E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=称为随机变量X的均值或数学期望(简称期望),它反映了随机变量取值的平均水平.  (2)均值的性质： 设的分布列为，i1,2,3....n ①E(X+b)= E(X)+b (a,b为常数) ②E(aX)= aE(X) (a,b为常数) ③E(aX+b)= aE(X)+b (a,b为常数) 2、(1)D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn=称为随机变量X的方差,它反映了随机变量取值的离散程度,称为随机变量X的标准差.  (2)性质： ①E(Y)=E(aX+b)=　aE(X)+b (a,b为常数).  ②D(X)=E(X2)-[E(X)]2. 3、两点分布 (1)定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=，如果P(A)=p, 则P()=1-p，那么X的分布列如下表所示，称随机变量X服从两点分布或0-1分布. 0 1 (2)均值与方差 若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=p，D(X)=p(1-p). [总结反思] 1、求随机变量分布列的主要步骤： （1） 明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2） 求每一个随机变量取值的概率（概率之和为1）； （3）列成表格，求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识。 2、离散型随机变量分布列的性质的应用 （1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于他取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； （3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确。 【例1】1、若离散型随机变量X的分布列为 X 1 0 P 2a 则常数a=__________，X的数学期望E(X)=__________． 【解析】由题得2a+a=1,. 故填（1）（2）. 2、设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3)，则P(X≥2)=　　　　. 【解析】因为随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==k=1,解得k=,因此P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=k=. 【变式探究1】 （1）设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝, k＝1,2,3，则m的值为 (　　) A. B. C. D. （2）若随机变量的分布列为 X 0 1 P m 则__________． （3）已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P(2＜X≤4)等于(　　) A. B. C. D. 四、超几何分布 (1)定义：假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m,m+1,m+2,…,r，其中n,N,M∈N*, M≤N,n≤N, m=max{0, n-N+M}，r=min{n, M},称随机变量X服从超几何分布.  (2)特点：从含有M个特殊元素的N个元素中抽取n个元素, X表示其中的特殊元素的个数. (3)期望：E(X)==np. (其中P=为次品率) 【例2】某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的概率分布． 【解析】(1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝＝. (2)由题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， ∴