山东省潍坊市2024届高三上学期普通高中学科素养能力测评数学试题

试卷类型：A 2023年潍坊市普通高中学科素养能力测评 高三数学 2023.12 本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，若非零复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，点为的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，，点在第四象限，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：和曲线：有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．若把该数列的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成新数列，则数列的前项和是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为 B. 的图象关于点对称 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 在区间上单调递减 10. 已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（ ） A. 数列等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，右顶点为，过的直线交双曲线的右支于，两点（其中点在第一象限内），设，分别为，的内心，则（ ） A. 点横坐标为2 B. 当时， C. 当时，内切圆的半径为 D. 12. 如图所示的六面体中，，，两两垂直，连线经过三角形的重心，且，则（ ） A. 若，则平面 B. 若，则平面 C. 若五点均在同一球面上，则 D. 若点恰为三棱锥外接球的球心，则 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 已知，为单位向量，，则________． 14. 已知函数，若方程在区间上有且仅有两个实数解，则实数的取值范围为________． 15. 正三棱台中，，，点，分别为棱，中点，若过点，，作截面，则截面与上底面的交线长为________． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过上一点（异于原点）作的切线，与轴交于点．若，，则________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）若为边上一点，且满足，，证明：为直角三角形． 18. 已知数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 19. 某地区未成年男性的身高（单位：cm）与体重平均值（单位：kg）的关系如下表1： 表1 未成年男性身高与体重平均值 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重平均值/kg 直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高． 表2 拟合函数对比 函数模型 函数解析式 误差平方和 指数函数 二次函数 幂函数 （1）问哪种模型是最优模型？并说明理由； （2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的