二项式定理讲义-2024届高三艺术生数学一轮复习

9.2 二项式定理 1．二项式定理 （，a,b可以是数或多项式），这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式. 其中：①项数:n次二项展开式共有　n+1　项. ②字母a的次数从n逐项递减到0,字母b的次数从0逐项递增到n ③各项次数和均为二项式的次数n ④ ()叫做展开式的第项的二项式系数 ⑤叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；. 2．二项式系数的性质 (1)对称性 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. (2)二项式系数先增后减，中间项的二项式系数最大. ①当n为偶数时，中间项第项的二项式系数最大，最大值为 ;  ②当n为奇数时，中间两项第项的二项式系数相同且同时取得最大值，最大值为 或　 (3)二项式系数之和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数和为2n，即C＋C＋…＋C＝2n. (4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 3．赋值法的应用 (1)在二项式定理中,令a=1, b=x得(1+x)n= +x+x2+…+xk+…+xn. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 ①a0+a1+a2+…+an=f(1). ②奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=. ③偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 一、求二项展开式中指定项或指定项的系数 【例1】（1）（x－）的展开式中的系数为__________ (用数字作答) . 【解析】展开式通项为.令，得，所以的系数为． （2）(x2+1)(x-1)的展开式中的x的系数为（ ） A． 1 B． －9 C． 11 D． 21 【解析】由题可得(x﹣1)的x3项为：Cx(﹣1)＝10x，x5项为：Cx(﹣1)＝x，然后和 （x＋1）相乘去括号得x项为：10x﹢x＝11x，故(x﹢1)(x﹣1)的展开式中的x的系数为11，选C. （3）的展开式中的系数为（ ） A． 4 B． －4 C． 6 D．-6 【解析】 ，所以的项为，故的系数为，故选B. （4）展开式中的系数为（ ） A． 10 B．30 C． 45 D． 210 【解析】的展开式的通项公式为，所以或，故展开式x3的系数为故选B. 【变式探究1】 （1） 的展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． （2）的展开式中项的系数为20，则实数_________． （3）的展开式中项的系数为__________． （4）在的展开式中，记项的系数为， （ ）. A. B. C. D. （5）在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）． 二、二项式系数与项的系数的性质 【例2】 （1）若，则的值__________． 【解析】令，得，令，得，则 . （2）若，则__________． 【解析】令 ，则， 为的系数，其中 展开式中的系数为， 展开式中的系数为，则. （3）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则的系数为（ ） A．15 B．45 C．135 D．405 【解析】由题意，n=6，，令6-＝3，r＝2, 则＝135.故选C. （4）二项式()n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( ) A． 7 B． 5 C． 4 D． 3 【解析】二项式()n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则n=20，()20展开式的通项公式为：（）20-r（）r＝，展开式的有理项满足：20－为整数，则：r可能的取值为0,3,6,9,12,15,18.共有7个. 故本题选择A选项. 【变式探究2】 （1）若=，则的值是（ ） A．1 B． C．0 D． 2 （2）已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于(　　) A．－5 B．5 C．90 D．180 （3）展开式中最大的二项式系数为 ． （4）展开式中最大的二项式系数为 ；项的最大系数为 ；最小系数为 （5）设的展开式的各项系数之