第02讲：空间向量与立体几何交汇（必刷6大考题+7大题型）-2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲：空间向量与立体几何交汇 【考点梳理】 考点一：异面直线所成的角 考点二：线面角 考点三：面面角 考点四：点到直线的距离 考点五：点到平面的距离 考点六：空间线段点存在问题 【知识梳理】 知识一：空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 知识二：点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 知识三：点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 【题型归纳】 题型一：异面直线所成的角 1．（2023下·陕西汉中·高二统考期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023上·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 题型二：线面角 4．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（    ）． A． B． C． D． 5．（2023上·新疆·高二校联考期末）如图，点在内，是三棱锥的高，是边长为6的正三角形，．      (1)求的长度； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 6．（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）如图1所示，在矩形ABCD中，，，M为CD中点，将△DAM沿AM折起，使点D到点P处，且平面平面，如图2所示．    (1)求证：； (2)在棱PB上取点N，使平面平面，求直线AB与平面AMN所成角的正弦值. 题型三：面面角 7．（2023下·甘肃白银·高二校考期末）已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知．    (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 8．（2023下·福建福州·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 9．（2023下·广东韶关·高二统考期末）如图①所示，在中，，，，D，E分别是线段，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图②．    (1)若点N在线段上，且，求证：平面； (2)若M是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 题型四：点到直线的距离 10．（2023上·辽宁锦州·高二统考期末）直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（    ） A． B． C． D． 11．（2023上·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A． B． C． D． 12．（2022上·福建福州·高二校联考期中）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型五：点到平面的距离 13．（2023上·河南新乡·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 14．（2023上·湖北·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 15．（2023下·江西新余·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 题型六：空间线段点存在问题 16．（2023下·福建·高二校联考期末）如图，在正三棱柱中，点在棱上，且.    (1)求证：平面； (2)若正三棱柱的底面边长为，二面角的大小为，求直线到平面的距离. 17．（2023下·江苏南京·高二统考期末）