第01讲：空间向量（必刷9大考题+9大题型）-2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲：空间向量 【考点梳理】 考点一：空间向量的概念 考点二：空间向量及其加减法运算 考点三：空间共线向量定理 考点四：空间共面向量定理 考点五：空间向量的数乘运算 考点六：空间向量的数量积运算 考点七：空间向量基本定理及其应用 考点八：空间向量的坐标的运算 考点九：空间向量坐标的平行和垂直问题 【知识梳理】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)， 使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (3)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 【题型归纳】 题型一：空间向量的概念 1．（2022上·陕西渭南·高二统考期末）给出下列四个命题，其中正确的有 （1）若空间向量，满足，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中． A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（湖北武汉·高二统考期末）在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2020·天津和平·高二天津市第五十五中学校考阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．设是两个空间向量，则一定共面 B．设是两个空间向量，则 C．设是三个空间向量，则一定不共面 D．设是三个空间向量，则 题型二：空间向量及其加减法运算 4．（2023上·重庆·高二统考期末）如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023上·河南驻马店·高二统考期末）如右图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（    ）      A． B． C． D． 6．（2023下·甘肃天水·高二统考期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，则用表示及线段的长为分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 题型三：空间共线向量定理 7．（2022上·山西吕梁·高二统考期末）在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023上·辽宁·高二本溪高中校联考期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2022上·浙江湖州·高二统考期末）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（    ） A． B． C． D． 题型四：空间共面向量定理 10．（2023上·河南新乡·高二统考期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 11．（2023上·福建福州·高二福州三中校考期末）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 12．（2023上·湖北武汉·高二校联考期中）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ）