专题10 圆锥曲线综合大题10种题型归类-【寒假分层作业】2024年高二数学寒假培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题 10 圆锥曲线综合大题 · 一、巩固提升练 · 【题型一】韦达定理基础型 · 【题型二】最值型：面积最值 · 【题型三】最值型：四边形面积最值 · 【题型四】最值型：面积比值型 · 【题型五】最值型：斜率最值 · 【题型六】圆锥曲线切线 · 【题型七】切线型最值 · 【题型八】向量型定比分点 · 【题型九】直线过定点型 · 【题型十】圆过定点型 二、能力培优练 热点 【题型一】韦达定理基础型 1.（重庆市十八中两江实验中学校2022届高二上学期期末模拟数学试题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为，过F且斜率不为0的直线l交椭圆于A，B两点，C为线段AB的中点，当直线l的斜率为1时，线段AB的垂直平分线交x轴于点O（O为坐标原点），且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线DA，DB分别交直线于点M，N，求证：以MN为直径的圆恒过点F． 2.（安徽省合肥市2023高二数学试题）已知曲线C：，从曲线C上的任意点作压缩变换得到点． (1)求点所在的曲线E的方程； (2)设过点的直线交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线的位置关系，并写出分析过程． 3.（广东省部分学校2022-2023学年高二年级12月大联考数学试题）已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 4.（福建省厦门外国语学校石狮分校、泉港区第一中学两校2023届高二上学期第四次联考数学试题）已知椭圆且四个点、、、中恰好有三个点在椭圆C上，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且，证明：直线l与定圆相切，并求出的值. 【题型二】最值型：面积 知识点与技巧： 求解直线与圆锥曲线综合应用中的三角形或四边形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；用面积桥结合三角形面积表示出四边形面积； ④将所求面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）. 1.（福建省宁德市2022-2023学年高二上学期区域性学业质量检测（期末）数学试题）在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，求的面积最大值. 2.（江苏省南京市励志高级中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）设椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点，求（O为坐标原点）面积的最大值． 3.（安徽省安庆市宿松中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题）已知椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为、，三角形的周长为6，面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形面积的最大值． 4.（安徽省蚌埠市2023届高二数学试题）已知抛物线，点在C上，A关于动点的对称点记为M，过M的直线l与C交于，，M为P，Q的中点． (1)当直线l过坐标原点O时，求外接圆的标准方程； (2)求面积的最大值． 【题型三】最值型：四边形面积最值 知识点与技巧： 圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 1.（2023下·广东汕头·高二统考期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且. (1)求曲线和曲线的标准方程； (2)过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值. 2.（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的方程； (2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值． 3.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，抛