第04讲 三角函数的图象与性质（知识解读+解题方法+随堂测试）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第04讲 三角函数的图象与性质 知识点1：正弦、余弦正切、函数的图象 正弦函数,的图象叫做正弦曲线. 余弦函数,的图叫做余弦曲线. 正切函数, 知识点2：正弦、余弦函数图象的画法 1.正弦图像画法： (1)几何法: ①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点. ②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度). (2)“五点法”: 在函数,的图象上,以下五个点: ，，，， 在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 2.余弦图像画法 (1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为. (2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 知识点3：函数的周期性 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 知识点4：正弦函数、余弦、正切函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 【题型一 五点画图】 【典例1】用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. 【变式1-1】用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.    【变式1-2】用“五点法”画出函数在一个周期（）内的图像． 【变式1-3】已知函数. (1)请用五点法做出一个周期内的图像； (2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由. 【题型二 解三角不等式】 【典例2】根据正弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值范围： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】若，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】求函数的定义域为 ． 【变式2-3】函数的定义域是 ． 【题型三 周期】 【典例3】求下列函数的周期： (1)，； (2)，； (3)，． 【变式3-1】函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的最小正周期为 ． 【变式3-3】已知函数 的最小正周期为，则 . 【变式3-4】如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则 . 【变式3-5】求下列函数的周期： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型四 奇偶性】 【典例4】判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3). 【变式4-1】判断函数的奇偶性. 【变式4-2】下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列函数中，是偶函数且其图象关于点对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 【题型五 单调性】 【典例5】在区间中求出： (1)使与都是单调递减的区间； (2)使是单调递增的而是单调递减的区间． 【变式5-1】已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】函数在区间上（    ） A．单调递增 B．单调