数列中的绝对值与奇偶项、不等式和新定义问题专题训练-2024届高三数学二轮复习

越努力，越幸运！ 2024届高三二轮复习数列中绝对值与奇偶项，不等式和新定义问题 专题一：数列中的绝对值问题 1．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 2．已知为等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列． (1)求，； (2)若，，求． 4．在数列，中，，对任意，，等差数列及正整数满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求前项和. 专题二：数列中的奇偶项问题 5．已知等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 6．已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足 ，求数列的前项和． 7．已知为等差数列，且． (1)求的首项和公差； (2)数列满足，其中、，求． 8．已知为等比数列，且，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)当为递增数列时，，数列的前项和为，若存在，求的取值范围. 9．已知二项式的展开式的各项系数和构成数列数列的首项，前项和为，且当时，有． (1)求和； (2)设数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 专题三：数列中的不等式问题 10．已知数列的前项和满足，，. (1)求的通项公式； (2)数列，满足，且，求证：. 11．已知首项为1的数列的前项和为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列满足，求证：． 12．已知公比大于1的等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)记为数列在区间中的项的个数，求数列的前100项和． 13．已知数列首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列，并求的通项； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 14．已知等差数列的前项和为，，为整数，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围. 专题四：数列中的新定义问题 15．设满足以下两个条件的有穷数列为n（）阶“期待数列”： ①； ②． (1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”； (2)若某（）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； 16．已知是正项数列的前项和，满足，. (1)若，求正整数的值； (2)若，在与之间插入中从开始的连续项构成新数列，即为，求的前30项的和. 17．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第（）次得到的数列的所有项之和记为. (1)求与满足的关系式； (2)求数列的通项公式. 18．已知数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足, 定义使为整数的k叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和. 19．已知数列中，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，记数列的前项和为，求使得的正整数的最小值． 细心 耐心 恒心1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高三二轮复习数列中的绝对值，奇偶项，不等式和新定义问题 一、解答题 1．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解， （2）分情况，即可根据等差数列求和公式求解. 【详解】（1）设的公差为d，依题意得， 所以，即， 化简得，解得或（舍去）， 故， （2）依题意，． 当时，，故； 当时，， 故． 故 2．已知为等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可； （2）分和两种情况求和. 【详解】（1）设的公差为，则：， . （2）， 令， 当时，， ， 当时，， 综上所述：. 3．在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列． (1)求，； (2)若，，求． 【答案】(1)时，时 (2) 【分析】（1）根据等比中项的性质得到方程求出，从而求出通项公式； （2）由（1）可得，令，分、两种情况分别求出，再解方程即可. 【详解】（1）公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列． 所以，即 解得或， ①当时，． ②当时，． （2）因为，所以， 令， ①当时，， 所以， 所以． ②当时，， 所以， ， ， ． 故． 又， 且当时， 所以，则， 解得或（舍去）. 所以. 4．在数列，中，，对任意，，等差数列及正整数满足，，