6.4.3第1课时余弦定理学案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 【学习目标】 素 养 目 标 学 科 素 养 1.了解余弦定理的推导过程 2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用 3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题 1.数学运算 2.数学抽象 3.逻辑推理 【温故知新】 在直角三角形这种特殊的三角形中，已知直角和两边可以求第三边，已知三边可以证明是否是直角。在一般三角形中角和边满足什么关系呢？一边的平方与其余两边平方和及其夹角有什么关系呢？ 在Rt△ABC中(若C=90) 在一般△ABC中(若C=37) 【创设情境】 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案。 比如：武广高铁的路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧道，从而涉及到一个问题，就是要测量出山脚的长度。而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道山脚的长度呢？ 工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的距离，其中AC＝500m，CB＝300m，再利用经纬仪测出C对山脚AB的张角∠ACB＝120°. 问题：根据上述条件你能求出山脚AB的长度吗？ 实际问题转化为数学问题：在△ABC中，已知AC=500m，BC=300m，C=120°，求AB. A B b=500m a=300m C 【问题引入】 在△ABC中,三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c，怎样用a、b和C表示c？ 分析：因为涉及的是三角形的两边长（a和b）和它们的夹角(C)，所以我们可以考虑用向量的数量积公式来研究. ①把几何元素用向量表示： ②向量如何转化成数量？等式两边同时平方： ③向量式化成几何式： 探究一：同学们能发现三角形的其它边角关系吗？请仿照上述步骤尝试一下！ 【思考】这三个式子有什么共同特点吗？ 【讲解新课——余弦定理】 文字语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2＝ ；b2＝ ；c2＝ 推论 cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ 【思考】你能用其它方法证明余弦定理吗？请同学们用坐标法试一下！ 【思考】余弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 【应用知识】 题型1 已知三角形的两边及其夹角求第三边。即：已知a、b及C求c. (SAS型) 例1： 在△ABC中，已知a=300m，b=500m，C=120°，求c． 题型2 已知三边解三角形(SSS型) 例2： 在△ABC中，a=，b=2，c=，求角A、B、C. ( c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 )探究二：余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理是勾股定理的 ，而勾股定理是余弦定理的 探究三：利用余弦定理的变形判定角 当角C为直角时有c2=a2+b2，当角C为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？ 提示： 在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为 ；c2>a2＋b2⇔C为 ；c2<a2＋b2⇔C为 题型3 判断三角形的形状 例3：在△ABC中，a=7，b=5，c=3，判断△ABC的形状为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【课堂小结】 这节课你的收获是什么？请填一填. 文字语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2＝ ；b2＝ ；c2＝ 推论 cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ 应用 判断三角形的形状：c2＝a2＋b2⇔C为 ；c2>a2＋b2⇔C为 ；c2<a2＋b2⇔C为 解三角形：（1）已知三条边，求 ； （2）已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$