6.4.3.1余弦定理及应用课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理 第六章 平面向量及其应用 在直角三角形这种特殊的三角形中，已知直角和两边可以求第三边，已知三边可以证明是否是直角。在一般三角形中边长和角度有什么关系呢？ 复习引入 b c a 创设情境 武广高铁的路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧道，从而涉及到一个问题，就是要测量出山脚的长度.而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道山脚的长度呢？ A B C 500m 120° 实际问题转化为数学问题 在△ABC中，已知AC=500m，BC=300m，C=120°，求AB. 300m b a c=？ 从特殊到一般：已知三角形的两边及其夹角,求第三边.即：已知a、b及C,求c. 素养目标 学科素养 1.了解余弦定理的推导过程 2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用 3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题 1.数学运算 2.数学抽象 3.逻辑推理 学习目标 b c=？ a 分析：因为涉及的是三角形的两边长（a和b）和它们的夹角(C)，所以我们可以考虑用向量的数量积公式来研究. 在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c,怎样用a、b和C表示c？ ①把几何元素用向量表示： ②向量如何转化成数量？等式两边同时平方： ③向量式化成几何式： c b a 三角形中有别的数量关系吗？能否用a、c和角B表示b？ 探究1：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和角C表示c？ c b a ③向量式化成几何式： ①把几何元素用向量表示： ②向量转化成数量： 这三个式子有什么共同特点吗？ 1、余弦定理 b c a 思考：你能用其它方法证明余弦定理吗？ 比如坐标法，用 b、c边和角A表示出a边？ 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即 余弦定理 1 坐标法 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为如图以点A为坐标原点，边AB所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(,0),C() () 由 = 即 同理可证 ， 已知三边求任意一个角(SSS型) 2、余弦定理的推论 b c a=? 已知两边和夹角，求第三边(SAS型) 问题：余弦定理可以解决三角形的哪类问题？ b c a b c a 解：由余弦定理，得 应用知识 c² = a²+b²－2abcosC =300²+500²－2×300×500×cos120° =490000 所以 c=700(m) 实际问题转化为数学问题 例1 在△ABC中，已知a=300m，b=500m，C=120°，求c． A B C 500m 120° 300m b a c=？ 从特殊到一般：已知三角形的两边及其夹角,求第三边.即：已知a、b及C,求c. (SAS型) 典例分析 题型2 已知三边解三角形(SSS型) 解：由余弦定理得 例2 在△ABC中，a= 5 ，b=2，c= ，求角C. b= 2 c= a= 5 () 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？ 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例． 3、余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这便是勾股定理. b c a c2＝a2＋b2 A a B C b c A c b A b c = 探究3：当角C为直角时，有c2=a2+b2，当角C为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？ 推论： 当C为锐角时，c2 a2+b2 当C为钝角时，c2 a2+b2 当C为直角时，c2 a2+b2 > < 巩固练习 C 在△ABC中，a=7，b=5，c=3，判断△ABC的形状为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 () 课堂小结 这节课你的收获是什么 请填一填. 余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于 减去这两边与它们的 的两倍. 公式表达 a2＝ ，b2＝ ， c2