专题十二 等腰三角形中的几何模型（12）2023-2024学年人教版八年级数学上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题十二 等腰三角形中的几何模型 模型五 三线合一辅助线模型 （1） 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，（2）等腰三角形没有底边上的中线时作底边上的高。利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件.当看见等腰三角形的时候，就应想到：边、角相等以及“三线合一”. 【例5-1】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【例5-2】如图，在中，，D是上一点，，E是上一点，，． (1)求证：平分； (2)求的度数． 针对练习5 1．如图1，在等腰直角中，，点是线段上不与点，重合的动点，连接并延长至点，使，过点作，垂足为点．        (1)当点，位于点的异侧时，问线段，，之间有何数量关系？写出你的结论并证明； (2)当点，位于点的同侧时，若，，请在备用图中画出图形，并求的长． 2．如图所示，△ABC中，BA＝BC，点D为BC上一点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交AC于点F． （1）若∠AFD＝160°，则∠A＝　 　°； （2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B． 3．如图，等腰中，，于点E，且，若，求的度数． 模型六 绝配角构等腰 绝配角的问题难度都较大，往往需要巧妙的构造等腰三角形。 两个角满足a+2β=180°，则a、β为绝配角 “绝配角”就是经过特殊“处理（转化）”的角度条件，使得条件埋藏的更深，包装更厚，因为角度本身的灵活性，使得条件更加扑朔迷离，不知道怎么应用。通常有邻补角的角平分线所形成的角度关系；三角形外角平分线相交所形成的角与三角形第三个角之间的关系；等腰三角形顶角与底角的关系等。 （1） 一组绝配角有公共边延长一边。 （2） a、β在同一三角形中以a为顶角构造等腰三角形 （3） 出现2倍角时翻折构造等腰三角形 【例6-1】如图，在△ABC中，点D在BC边上，，垂足为点E，若，，，，求CD的长． 【例6-2】如图，在△ABC中，，，点D是AB的中点，点E在AC上，点L在BC上，，连接AL，若，，，求AL的长. 针对练习6 1. 如图，在△ABC中，，垂足为D，CE平分交AB于点E，，，交AD的延长线于点M，求证：. 2 .阅读下面材料并完成相应学习任务： 利用轴对称研究边与角之间的数量关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则． ∵（依据1） ∴ ∴． 这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小． 类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小． 如图2，在中，如果，那么可以将沿折叠，使点B与点C重合，则， ∴（依据2） 在中，（依据3） ∴，即． 归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系． 任务一：上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？ 依据1：___________； 依据2：___________； 依据3：___________． 任务二： （1）如图3，在中，若，请直接写出之间的等量关系___________； （2）如图4，中，于点D，．求证：． 模型七 构造等腰三角形 （1） 作平行线构造等腰三角形 （2） 截长补短构造等腰三角形 （3） 利用中点构造等腰三角形 【例7-1】如图，等腰三角形和等腰三角形，，，连接、，点F为的中点，连接．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，过点B作的垂线，垂足为点G，若，，，求的长． 【例7-2】如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)写出与相等的理由； (2)过点D作于点G，写出与间的数量关系，并说明理由． 针对练习7 1 .【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容： (1)【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　 　． (2)【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点D在线段上，，若，，直接写出线段的长． 2 .中，，，点在射线上（不与，重合），连接