专题十一 等腰三角形中的几何模型（11）2023-2024学年人教版八年级数学上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题十一 等腰三角形中的几何模型 模型一 手拉手模型 手拉手模型的定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。 当在解题过程中遇到类似于以下几个图形的题目时，一定要注意运用“手拉手”模型的解题方法，即证明三角形全等。 【常见模型类型】 （等腰） （等边） （等腰直角） 典例剖析 【例1-1】如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC． （1）求证：BE＝AD； （2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想） 【例1-2】如图，在中，，，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，过点作交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 针对练习1 1 .如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 2 .两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______． (2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，为等腰直角三角形，，，求证：． 3 .如图1，和都是等边三角形，点C在线段上(点C不与A，B重合)，连接，交于点P． (1)求证：； (2)猜想的度数为________，并说明理由； (3)拓展：如图2，当点C在线段外时，依然作等边和等边，和还全等吗？若全等，请证明你的猜想；若不全等，请说出你的理由． 模型二 平行等腰模型结构 题中有角平分线 、平行线条件，可以得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质进行解题。 【例2-1】已知：中，、的平分线相交于点． ①如下图，过点作交、于、，求证：；    ②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长；    ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）．    【例2-2】如图，中，，，与的平分线相交于点，过点，并平行于，    (1)试求的周长． (2)连接，求的值 针对练习2 1 .如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作．交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 2. 如图，已知，P是的平分线上的任意一点，交于点D，于点E，如果，求的长． 3 .如图1，在中，，的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F． (1)写出图1中的等腰三角形； (2)猜想图1中与、有怎样的数量关系？并说明理由； (3)如图2，若中的平分线与三角形外平分线交于O，过O点作交于E，交于F．这时与、关系又如何？说明你的理由． 模型三 垂直等腰模型结构 题中有角平分线，垂直条件时，巧妙地把角平分线与三线合一联系起来，可以利用等腰三角形三线合一或者构造两个全等的直角三角形。从而解决问题。 【例3-1】中，，，点在射线上（不与，重合），连接，过点作，垂足为． (1)如图1，点在线段上，若恰好平分，探究、、之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点在线段上，点是直线上的一点，且平分，探究、、之问的数量关系，并说明理由． (3)若点在线段的延长线上，点是直线上的一点，且平分，请在图3中画出图形，判断（2）中的结论是否仍然成立？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出正确的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【例3-2】中，，的高与角平分线交于点F．    (1)求证； (2)求证：为等腰三角形 针对练习3 1 .已知，在中，，，为直线上一点．    (1)如图，在线段上，连接，过作于点，交于点，若平分，则求证：； (2)当点在直线上移动时，连，过作的垂线，垂足为，连，直接写出的度数． 2 .如图，已知是等腰直角三角形，，是的平分线，，垂足为D． (1)求证：； (2)请你写出图中所有的等腰三角形． 3．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．    (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 类型四 倍角三角形模型 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。 法一：将2倍角作为等腰三角形的外角，可以构造两个等腰三角形。 法二：作大角的角平分线构造等腰三角形 【例4-1】如图，在中，，和分别为和的角平分线，若的周长为，，则的长为 _________ ． 【例4-2】定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．如图，在中，，，将沿