3.1.1椭圆及其标准方程（课件+教学设计+学案）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 《3.1.1 椭圆及其标准方程》第一课时 教学设计 总体设计：本章是在承接“直线与圆的方程”的学习基础上,研究高中解析几何课程的一个重要内容——圆锥曲线, 教材章引言是通过“用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥得到的截口曲线是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角,那么会得到怎样的曲线?”从而引出圆锥曲线，通过行星运动轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用，注重利用数学史料，渗透数学文化。在研究过程中，数形结合思想和坐标法统领全局，三种圆锥曲线的研究内容、过程和方法都是“同构”的，按照“曲线的几何特征——曲线的标准方程——通过方程研究曲线的性质——应用”的过程展开，在展开过程中，教科书把椭圆作为重点，强调它的典型示范作用。本课时教学设计贯彻“问题引导学习”思想，以层层递进、逻辑连贯的问题串为载体贯穿教学活动从方法论高度，对如何观察、发现圆锥曲线的几何特征，如何构建研究路径，如何用坐标法研究几何问题等方面，引导学生开展创造性学习。 本课时学习目标： 1、 了解圆锥曲线的背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 2、 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及其推导。 本课时学习重点与难点： 重点——椭圆的定义、椭圆的标准方程 难点——椭圆几何特征的发现、椭圆标准方程的推导 本课时教学支持： GeoGebra软件、卡纸、无弹性的塑料绳 本课时教学过程设计 1、 章引言——圆锥曲线的背景与应用 GGB展示：用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是一个圆. 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到什么曲线呢？ 如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，他们分别是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（conic setions）. 圆锥曲线的历史：了解数学史，渗透数学文化。 重要人物——古希腊数学家阿波罗尼斯，著有《圆锥曲线论》其与同时代的欧几里得的史诗级巨著《几何原本》被誉为古代希腊几何的登峰造极之作. 直到16世纪，由于天文学与物理学的发展，促使人们对“圆锥曲线”作进一步研究。在天文学上，德国天文学家开普勒继承了哥白尼的“日心说”，提出了行星按“椭圆轨道”环绕太阳运行的说法；在物理学上，意大利物理学家伽利略提出了当物体进行“斜抛运动”时，其轨道是“抛物线”。这时的人们才恍然大悟，“圆锥曲线”是自然界物体运动的“普遍形式”。 17世纪，随着笛卡尔和费马所创立的“解析几何”面世，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，开始朝着“解析法”的方向发展，为“圆锥曲线”的发展迎来了新的春天。 2、 活动及探究——画椭圆，构建椭圆的概念 教学活动 师生活动 设计意图 如前所述，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是一个圆。改变圆锥的轴与截平面的角，我们可以观察到一种截口曲线——椭圆。圆与椭圆有什么内在联系吗？我们知道圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，那椭圆有类似的定义吗？下面我们实际操作一下，看能不能画出一个椭圆。 在卡纸上用笔尖扎两个隔开一定距离的小孔，将塑料细绳的两端分别穿过两孔，在卡纸背面打结或系物固定绳子的两端。套上笔，拉紧绳子，移动笔尖画图。 教师展示塑料绳固定一端黑板上画圆 提前分发给学生每人一张白色卡纸、一根塑料长绳 教师微视频展示操作过程作为指导 由实际操作，强化学生对椭圆几何特征的认识，并引导学生抽象出椭圆的定义。 问题1：画出的轨迹是什么曲线？ 生：椭圆 师：展示学生成果。寻找有无不是椭圆的。 问题2：有没有画的不是椭圆的？（线段） 师引导：要想画出椭圆，在固定两端时，绳子的长度要大于两孔之间的距离！ 问题3：在画出椭圆的这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？你能用数学语言刻画吗？引导对比圆的画法 生：笔尖移动的过程中，绳子的长度保持不变。即笔尖到两个定点的距离之和等于常数。 问题4：你能用精确的数学语言给椭圆下定义吗？ 教师关注学生对定义中的相关用语“平面内”“定点”“距离之和“”常数“”点的轨迹“的使用是否准确。如果学生忽略了”这个常数要大于两定点间的距离“，引导学生回忆操作”绳子的长度大于两孔之间的距离“来帮助学生完善。 当常数等于两定点的距离时，点的轨迹是线段；当常数小于两定点的距离时，点的轨迹不存在。 概念——我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆(ellipse),这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。 三、建系与推导——建立椭圆的标准方程 问题5：遵循解析