6.4.2 探索三角形相似的条件（二）（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

6.4.2 探索三角形相似的条件（二） 第6章 图形的相似 苏科版 九年级下册 教学目标 01 掌握相似三角形的判定定理（二），能运用此定理证明两个三角形相似 02 掌握相似三角形的判定定理（三），能运用此定理证明两个三角形相似，同时注意区分三种判定定理使用的条件 相似三角形的判定定理（二） 【思考】类比判定三角形全等的方法“SAS”，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢? 【问题建模】 如图，已知：=，∠A=∠A’，求证：△ABC∽△A’B’C’。 C A’ C’ A B B’ 01 情境引入 【证明】如图，在△ABC的边AB上截取AD=A’B’，作DE∥BC交AC于E，连接DE， 01 情境引入 ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE（预备定理）， ∴=， ∵=，且AD=A’B’， ∴AE=A’C’， 如图，已知：=，∠A=∠A’，求证：△ABC∽△A’B’C’。 C A’ C’ A B B’ D E 01 情境引入 如图，已知：=，∠A=∠A’，求证：△ABC∽△A’B’C’。 C A’ C’ A B B’ D E 在△ADE和△A’B’C’中， ， ∴△ADE∽△A’B’C’（SAS）， 又∵△ABC∽△ADE， ∴△ABC∽△A’B’C’。 判定定理（二） 由此，我们得到利用两边一夹角判定两个三角形相似的方法~ 判定定理（二） 02 知识精讲 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 C A’ C’ A B B’ 符号语言： 如图，∵=，∠A=∠A’， ∴△ABC∽△A’B’C’。 注意： 相等的角必须是对应两边的夹角 ①如图，△ABC∽△A’B’C’； 02 知识精讲 议一议：对于△ABC和△A’B’C’，=，∠B=∠B’，这两个三角形一定相似吗？试着画画看。 C A’ C’ A B B’ C’’ ②如图，以A’为圆心，A’C’为半径画弧，与B’C’交于点C’’， △ABC与△A’B’C’’不相似。 【总结】两边成比例，但对应相等的一组角不是夹角时，两个三角形不一定相似。 02 知识精讲 【再次强调】 无论是证明相似or证明全等，用“两边一夹角”定理时，必须时刻警惕：相等的角必须是对应两边的夹角。 知识精讲 例1、已知：如图，AD·AB=AE·AC，求证：△ADC∽△AEB。 注意： “∠A=∠A”为题目的隐藏条件 03 典例精析 证明：∵AD·AB=AE·AC， ∴=， ∵∠A=∠A， ∴△ADC∽△AEB。 注意： 要将其转化为比例式 知识精讲 例2、(1)如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD=1，BD=2，AC=，求证：△ACD∽△ABC。 03 典例精析 证明：∵AD=1，BD=2，AC=， ∴==，=， ∴=， ∵∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC。 注意： 当边长条件较多时，多要构建比例式 知识精讲 例2、(2)在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=BE=EF=FC=2，求证：△AEF∽△CEA。 03 典例精析 证明：∵∠B=90°，AB=BE=EF=FC=2， ∴AE==2， ∴AE:EF=2:2=，CE：AE=4:2=， ∴AE:EF=CE:AE， ∵∠AEF=∠CEA， ∴△AEF∽△CEA。 知识精讲 例3、如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2=EG·ED，求证：DE⊥EF。 ∵AF⊥BC， ∴∠AFB=90°， ∵点E是AB的中点， ∴AE=FE， ∴∠EAF=∠EFA， ∴∠ADG=∠EFG， 03 典例精析 证明：∵AE2=EG·ED， ∴=， ∵∠AEG=∠DEA， ∴△AEG∽△DEA， ∴∠EAG=∠EDA， 知识精讲 例3、如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2=EG·ED，求证：DE⊥EF。 ∵∠AGD=∠EGF， ∴∠DAG=∠FEG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°， ∴∠FEG=90°，即DE⊥EF。 03 典例精析 相似三角形的判定定理（三） 【思考】类比判定三角形全等的方法“SSS”，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢? 01 情境引入 【问题建模】 如图，已知：==，求证：△ABC∽△A’B’C’。 C A’ C’ A B B’ 【证明】如图，在△ABC的边AB上截取AD=A’B’，作DE∥BC交AC于E，连接DE， 01 情境引入 ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE（预备定理）， ∴==， ∵==，且AD=A’B’，∴DE=B’C’，EA=C’A’， 如图，已知：==，求证：△ABC∽△A’B’C’。 C A’ C’ A B B’ D E 01 情境引入 如