6.2.1 向量的加法运算-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练(人教A版2019必修第二册）

6.2.1　向量的加法运算 知识点归纳 一、向量加法的定义和三角形法则 (1)定义：求 的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. (3)三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ . 提醒　运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”. 二、向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量 (OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和. 提醒　应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”.向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义. 三、共线向量的加法与向量加法的运算律 (1)|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b 时等号成立. (2)向量加法的运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a. ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 提醒　(1)已知几个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这几个向量的和. (2)首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0. 题型演练 题型一　向量的加法运算法则 例1 (1)已知平面四边形ABCD，则＋＋＝(　　) A. B. C. D.0 (2)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A. B. C. D. 小结 (1)用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”. (2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0. 训练1 (1)正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　) A.1 B. C.3 D.2 (2)如图所示，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b. 题型二　向量的加法运算律 例2 设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)＋＋； (2)＋＋＋； (3)＋＋＋＋. 小结　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 变式2 已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋|＝________. 题型三　向量加法在实际问题中的应用 例3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 小结　应用向量解决平面几何问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 变式3 一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置. 方法小结 1.重要思想与方法 (1)三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，二者是统一的.当两个向量首尾相连时，选用三角形法则，当两个向量共起点时，选用平行四边形法则. (2)在应用三角形法则和平行四边形法则求向量的和时，应用了数形结合的思想方法. 2.易错易混点提醒 向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量平移到共同起点. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．平行四边形中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，为中点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．为实数0 C．与方向相同 D． 4．已知中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 6．在四边形中，若，则（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形 二、多选题 7．已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的