6.1 平面向量的概念-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练(人教A版2019必修第二册）

6.1 平面向量的概念 知识点归纳 一、向量与数量 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量. (2)数量：只有 没有 的量称为数量. 二、向量的几何表示 (1) 的线段叫做有向线段.它包含三个要素： 、 、 . (2)向量可以用有向线段来表示.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示. 三、向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于 长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向 的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量 相等向量 长度 且方向 的向量；向量a，b相等，记作a＝b 温馨提醒　(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同. (2)在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆. 题型演练 题型一　向量的有关概念 例1.下列说法正确的是(　　) A.温度有零上和零下之分，所以温度是向量 B.共线向量一定在同一直线上 C.向量a≠b，则a与b的方向必不相同 D.单位向量的长度为1 反思与总结：对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关.零向量的模为零，方向则是任意的. 变式1.下列说法正确的是(　　) A.向量与向量的长度相等 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.若a∥b，b∥c，则a∥c D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 题型二　相等向量与共线向量 例2,.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c. (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与a，b，c相等的向量. 反思与总结：相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的线段，再确定哪些是同向共线的向量. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 变式2.(多选)给出下列说法正确的是(　　) A.若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B.在平行四边形ABCD中，一定有＝ C.若a＝b，b＝c，则a＝c D.a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b 题型三　向量的表示及应用 例3.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助.试求： (1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.(参考数据：sin 53°≈0.8) 反思与总结： 1.重要思想与方法 (1)向量是既有大小，又有方向的量，故既有代数特征，又有几何特征. (2)向量可以用字母表示，也可用有向线段表示，体现了数形结合的思想方法. 2.易错易混点提醒 共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，理解时要注意与平面几何中的“共线”“平行”的区别.要特别注意零向量与任意向量平行，忽视这一点就会出现错误. 变式3.在大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向北偏西40°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务. (1)作出向量，，； (2)求||. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．已知单位向量，向量夹角为，则＝ A． B． C．1 D．0 2．下列命题中正确的是（    ） A．，，则 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点 C．向量与不平行，则与都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 3．已知在边长为2的菱形中，，则 A．1 B． C．2 D． 4．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若，，则 C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则． 5．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．下列命题中正确的是（    ） A．若，则在上的投影为 B．若，则 C．若是不共线的四点，则是四边形是平行四边形的充要条件 D．若，则与的夹角为锐角；若，则与的夹角为钝角 二