平面向量复习专题讲义-2024届高三数学一轮复习

平面向量 1. 向量的定义： 既有大小又有方向的量叫做向量。 2. 数量的定义： 只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。 3. 要点诠释： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。 （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。 （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。 4. 有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。 5. 向量的表示方法： (1)字母表示法：如等。 (2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如，等。 (3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点坐标为，则称为的坐标，记为=。 6. 向量的模： 向量的大小,也就是向量的长度叫向量的模，记作。 7. 要点诠释： （1）向量的模。 （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小。 8. 零向量： 长度为零的向量叫零向量，记作。零向量只有一个，其方向是任意的。 9. 单位向量： 长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量。 10. 相等向量： 长度相等且方向相同的向量。向量可以自由平移，平移前后的向量相等，在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等。两向量与相等，记为。 11. 向量的共线或平行： 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)。任一组共线向量都可以移到同一直线上。规定:与任一向量共线。 12. 向量加法的概念及三角形法则： 已知向量，在平面内任取一点，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即。 13. 向量加法的平行四边形法则： 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 14. 要点诠释： 求两个向量和的运算，叫做向量的加法,对于零向量与任一向量，我们规定。 15. 向量加法的运算律： （1）交换律：； （2）结合律：。 16. 向量的三角形不等式： (1)当不共线时，； (2)当同向且共线时，同向，则。 17. 相反向量： 与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量。 18. 向量的减法： （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的。 （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法。 19. 要点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的。 （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则。 （3）两个向量的差仍是一个向量。 20. 向量减法的作图方法： （1）已知向量，（如图），作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量。 （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。 21. 向量数乘的定义： 实数与向量的积是一个向量，记作：。 (1)； (2) ①当时，的方向与的方向相同； ②当时.的方向与的方向相反；③当时，. 22. 向量数乘的运算律： 设为实数，结合律：； 分配律：， 23. 向量共线的条件： （1）当向量时，与任一向量共线。 （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线。反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，。 24. 向量共线的判定定理： 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线。 25. 向量共线的性质定理： 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使。 26. 要点诠释： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况。 （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使。 （3）有且只有一个实数，使。 （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一。 27. 平面向量基本定理： 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使。 ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底。 ②平面内任一向量都