15.1 分式（讲+练，12题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

15.1 分式 一、从分数到分式 1、分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式。分式中，叫做分子，叫做分母。 2、分式是否有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义。 3、分式值为零的条件：分式的条件是，且。 注：求出使分子为0的字母的值，一定要注意检验这个字母的值是否使分母的值为0，一般当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质. 2、约分 （1）分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分； （2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 注：①分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式； ②约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分； （3）找公因式的方法 ①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； ②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。 3、通分 （1）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分； （2）最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母。 （3）求最简公分母时应注意 ①各分母所有因式的最高次幂是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的； ②如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ③如果分母是多项式，一般应先分解因式。 题型一 分式的判断 【例1】下列代数式中，属于分式的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式，，，，，中，分式的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】对于代数式有甲、乙两种判断，其中正确的是（    ） 甲：是分式，因为是整式，且分母中含有字母； 乙：是整式，因此，而1是整式； A．甲对 B．乙对 C．甲和乙均对 D．甲和乙均不对 【变式1-3】下列各式：①，②，③，④，其中分式有（    ） A．②④ B．③④ C．④ D．② 【变式1-4】下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，，，． 题型二 按要求构造分式 【例2】已知公式，其中．用，，表示，那么 ． 【变式2-1】在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【变式2-2】下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）． 【变式2-3】两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式 ． 【变式2-4】给出6个整式：，，，2，，． （1）从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式； （2）从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行加法运算，并将运算结果进行因式分解． 题型三 分式有/无意义的条件 【例3】若分式的值为0，则x的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【变式3-1】下列结论：①无论a为何值，都有意义；②当时，分式的值为0；③若的值为负，则x的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】若分式有意义，则的取值范围是 【变式3-3】已知分式，当时，分式的值为0，当时，分式没有意义，则 ． 【变式3-4】已知分式． （1）当为何值时，该分式无意义； （2）当为何整数值时，该分式的值为正整数． 题型四 分式的求值 【例4】如果，则 ． 【变式4-1】若，则分式______． 【变式4-2】已知，则代数式的值为 ． 【变式4-3】已知，则的值（    ） A． B．5 C． D．7 【变式4-4】已知一列数，，…..，它们满足关系式，，，…，当时，则（    ） A． B． C． D． 题型五 分式值的知解求参 【例5】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【变式5-1】若使分式的值为负数，则可以取的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　） A．x B．0 C．x＞0 D．x且x≠0 【变式5-3】若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【变式5