4.3 角（讲+练，14题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年七年级数学上册同步讲与练（人教版）

4.3 角 一、角的相关概念 1、角 （1）概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 注：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 （2）表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示。其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角。角还可以用一个希腊字母(如∠，∠，∠、…)表示，或用阿拉伯数字(∠1，∠2…)表示。 2、平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角。 3、角度制的概念与换算 （1）概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1'；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1''。 （2）换算：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60''。 4、钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格。钟面上每一格的度数为360°÷12=30°. （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数。 （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°； 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°. 5、方向角 （1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向。 （2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西。（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南。） （3）画方位角：以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线。 二、角的比较与运算 1、角平分线 （1）概念：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线； （2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC； （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等。 2、角的大小比较方法 （1）用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小； （2）把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小。 3、角的和与差 ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC； ∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC. 三、余角和补角 1、余角和补角的概念 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角； （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 2、性质 （1）同角（等角）的补角相等； （2）同角（等角）的余角相等。 注：余角（补角）与这两个角的位置没有关系，不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系 题型一 角的概念与表示方法 【例1】把一个的角放在倍的放大镜下看，这个角是 度． 【变式1-1】在下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的图形是(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角； ②等于的角是直角； ③大于的角是钝角； ④平角等于； ⑤周角等于． 【变式1-3】如图所示，回答下列问题： （1）写出能用一个字母表示的角：________________； （2）写出以点B为顶点的角________________； （3）图中共有______________个小于平角的角． 【变式1-4】归纳与猜想： （1）观察上图填空：图中有个 角；图中有 个角；图中有 个角； （2）根据（1）题猜想：在一个角内引条射线可组成 个角．    题型二 角的分类的认识 【例2】下列各角中，是钝角的是（    ） A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角 【变式2-1】如图所示，，则图中锐角有（　　） A．12个 B．14个 C．15个 D．16个 【变式2-2】下列命题中，属于真命题的是（　　） A．两个锐角之和为钝角 B．内错角相等 C．锐角小于它的补角 D．相等的两个角是对顶角 【变式2-3】若为锐角，为