2.3.1 抛物线及其标准方程同步基础练习2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版高中数学选修1 第2章 3.1 抛物线及其标准方程 同步基础练习 一、选择题 在平面内，“点 到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点 的轨迹为抛物线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 过点 且与 轴相切的圆的圆心的轨迹为 A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 已知动点 的坐标满足方程 ，则动点 的轨迹为 A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．以上都不对 已知抛物线 上一点 的纵坐标为 ，则点 到抛物线焦点的距离为 A． B． C． D． 若点 到直线 的距离比它到点 的距离小 ，则点 的轨迹为 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 抛物线 的焦点坐标为 A． B． C． D． 抛物线 的准线方程为 A． B． C． D． 已知抛物线 的焦点到准线的距离为 ，则实数 等于 A． B． C． D． 抛物线 上的点 到抛物线焦点的距离为 ，则 A． B． C． D． 抛物线 上到其焦点 距离为 的点有 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 抛物线 上的点与其焦点的距离的最小值为 A． B． C． D． 二、填空题 已知抛物线 上一点 到焦点的距离是它到 轴的距离的 倍，则点 到焦点的距离为 ． 已知抛物线 的焦点与双曲线 的左焦点重合，则实数 的值为 ． 点 到拋物线 的准线的距离为 ，则 的值为 ． 以直线 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为 ． 经过点 的抛物线的标准方程为 ． 三、解答题 已知点 是抛物线 上的一个动点，求点 到点 的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值． 1. 设 是抛物线 上的一个动点， 为抛物线的焦点． (1) 若点 到直线 的距离为 ，，求 的最小值； (2) 若 ，求 的最小值． 答案 1. 【答案】B 【解析】若点 的轨迹为抛物线，则点 到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点 到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点 的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件． 2. 【答案】D 【解析】设圆心为 ，圆 与 轴切于点 ，根据直线与圆相切的性质 ，即 到定点 的距离等于 到定直线 轴的距离，又 不在 轴上，故 点的轨迹是抛物线． 3. 【答案】A 【解析】由题意，动点 的坐标满足方程 ， 变形为 ， 易知此式表示动点 到定点 的距离与其到定直线 的距离相等，且定点不在定直线上， 结合抛物线的定义可知，动点 的轨迹是以定点 为焦点，定直线 为准线的抛物线． 4. 【答案】C 【解析】抛物线 的准线方程为 ，点 到准线的距离为 ，根据抛物线的定义可知，点 到焦点的距离为 ． 5. 【答案】C 【解析】因为点 到直线 的距离比它到点 的距离小 ， 所以点 到直线 的距离等于它到点 的距离， 又点 不在直线 上， 所以点 的轨迹为抛物线． 6. 【答案】D 【解析】抛物线的标准方程为 ， 所以此抛物线的焦点在 轴上，， 所以焦点坐标为 ． 7. 【答案】D 【解析】因为 ， 所以 ， 故准线方程为 ． 8. 【答案】A 【解析】把抛物线方程 化为标准方程得 ， 因为抛物线的焦点到准线的距离为 ， 所以 ， 所以 ． 9. 【答案】B 【解析】因为抛物线 上的点 到抛物线焦点的距离为 ， 所以根据抛物线的定义可得，，解得 ， 代入 ，得 ， 所以 . 10. 【答案】C 【解析】抛物线 的准线方程为 ， 结合抛物线的定义可知，抛物线 上到其焦点 距离为 的点的横坐标为 ， 将 代入 ，得 ， 所以抛物线 上到其焦点 距离为 的点有 个．故选C． 11. 【答案】B 【解析】由题意，设 的焦点为 ，则 准线方程为 ． 设抛物线上的动点 ， 根据抛物线的定义可知，， 因为 ， 所以 ， 故抛物线 上的点与其焦点的距离的最小值为 ．故选B． 12. 【答案】 【解析】设点 的横坐标为 ． 因为抛物线的方程为 ， 所以其准线方程为 ， 根据抛物线的定义可得，点 到焦点的距离为 ， 所以 ，解得 ， 所以点 到焦点的距离为 ． 13. 【答案】 【解析】易得抛物线 的焦点为 ， 又抛物线 的焦点与双曲线 的左焦点重合， 所以 ，则 ． 14. 【答案】 或 【