解三角形讲义-2024届高三艺术生数学一轮复习

8.3 解三角形 （一）、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 变形 形式 应用 范围 (1)已知两角及其中一角对边，求另一角对边； (2)已知两边及其中一边对角，求另一边对角 (1)已知两边及任意一角，求第三边； (2)已知三边求任意一角； （二）三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （三）三角形中的边角关系 在△ABC中，设角A，B，C的对边长度分别为a，b，c. (1)三角形内角和定理A＋B＋C＝π. (2)三角形中的诱导公式：sin(A＋B)＝sin C， cos (A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C； 1、正弦定理公式的应用 【例1】（1）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，则a＝＿＿＿＿ 【解析】由正弦定理 得 （2）在△ABC中，若a＝2，b＝，A＝45°，求B= 【解析】由正弦定理 得 【变式探究1】（1）若中，，，，则_______ （2）在△ABC中，若a＝，b＝，A＝45°，求B= 2、边化角 【例2】设的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若，则的形状为（ ） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 等边三角形 D． 等腰三角形 【解析】因为，所以 所以,又且,所以,因此的形状为直角三角形，选B. 【变式探究2】 （1）在锐角中，a,b,c为内角A，B，C的对边，且满足．求角B. （2）在中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知.求角A. 3、面积公式与余弦定理 【例3】（1）在中,内角A，B，C所对的边为a,b,c，B=60°, a=4，其面积S=,则c= (   ) A． 15 B． 16 C． 20 D． 【解析】由三角形面积公式得：=×4×c×sin60°=，由此可得：c=20. 故选C （2）在中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，若b=2a，，则（ ） A． B． C． D． 1 【解析】因为，所以 由余弦定理得故答案为：B. （3）中，则的面积为 ． 【解析】由余弦定理，，即， 所以，则三角形面积． （4）在中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若的面积为S，且，则tanC=（ ） A． B． 1 C． D． 2 【解析】，，，,代入已知等式可得：，. 【变式探究3】 1、已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c且a=1，，，则b=______． 2、设△ABC的内角A、B、C的对边分别为，，．若，，，且，则（ ） A． B． C． D． 3、若△ABC的内角A.B.C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B＝(　　) A.　　　 B. C. D. 4、设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝(　　) A. B. C. D. 5、在△ABC中，角A.B.C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2－bc＝a2，且＝，则角C的值为(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 6、己知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． (I)求角A的大小； (II)若a=，且△ABC的面积为，求b+c的值． 7、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 (1)求角C (2)若△ABC的中线CD的长为1,求△ABC的面积的最大值． 8、在中，，，为内角，，的对边，且满足． （）求角的大小． （）已知b=3，求的周长的取值范围． 9、已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,，求的周长L和面积S. 这三个 条件中,任选一个补充在上面问题中的横线处,并加以解答。 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 10、已知D是边AC上的一点面积是面积的3倍， （1）若∠ABC=，求的值； （2）若BC=，AB=3，求边AC的长． 四、解三角形应用举例 1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平