2024届高三数学二轮复习培优练19：极值点偏移

培优练19 极值点偏移 一、基本技能练 1.已知函数f)=xnx一x两相异正实数，2满足)=x2),求证：x十2 >2. 2.已知函数x)=xnx的图象与直线y=m交于不同的两点A(1,y),B(x2,y2) 求证：x12<le2. 3.(2023杭州调研)已知函数fx)=x一nx一a有两个不同的零点1，x2. (1)求实数a的取值范围： (2)证明：x1十x2>a十1. 二、创新拓展练 4.(2023.临沂模拟)已知函数fx)=e一2ax(a>0) (I)若a=e,讨论x)的单调性； (2)若x1,x2是x)的两个不同的零点，证明：1<1十x22na十n2. 参考答案 1.证明fx)=nx,当x∈(0,1)时，fx)单调递减，当x>1时，fx)单调递增，且 1)=一1，如图所示， 不妨设<1<x2, 要证：十x22,即证x22一1 只需要证2一x)x2), 又f)=fx2), ∴.只需证2一)x), 设g(x)=x)一f2-xx∈(0,1)》 则gx)=f)一2-x川' =In x+In(2-x),0<x<1, 再设hx)=lnx+ln(2一x),0<<1, 则h(x)=1x一12-x=2一2xx(2-x)>0, ∴.(x)在(0,1)上单调递增， .(x)<(1)=0, ∴·g(x)在(0,1)上单调递减， ·g(x)g1)=0, ∴.x)-2-x)）>0,0x<1, .m)>f2-x),+x2>2.] 2.证明f(x)=lnx+1, 由f(x)>0,得x>le, 由f(x)0,得0x<1e, ∴.函数fx)在1as4 allcol(0,fle)上单调递减， 在aivs-4 alcolofile,十oo)上单调递增. 可设0<<1e<2, f)=fx2)即xn=xnx2, 令=x2x>1,则x2=x1, 代入上式得n=tnt+ln), 得ln=tln tl一t 又2<le2台lni1+lnx2<-2台2n+lnt×-2台2 tin t1-t+lntK-2台lnt-2 (1-1)t+1>0 设g()=nt-2(t-1)t+1(e1) 则g(0=(1-1)21(t+1)2>0 .当P1时，g()单调递增，g(t)>g(1)=0, .lnt-2(t-1)t+1>0.故xx2<1e2. 3.(1)解.函数x)=x一nx-a, .fx)=1-1x=x-1x, 当x∈(0,1)时，fx)0,x)单调递减： 当x∈(1，十o)时，fx)>0,fx)单调递增 故当x=1时，函数x)=x一lnx一a取最小值1)=1一a, 若函数x)=x一lnx一a有两个不同的零点，x2, 则1-a0,即a>1. 故实数a的取值范围为(1，十o). (2)证明由(1)可设0<x1<1<x2, 则x一ln1=a,且x2一lnx2=a, 若证灯十x2a十1， 即证x2>1一ln灯 构造函数g(x)=)一f1一lnx),0<x<1, 所以g(x)=x-lnx-(1一lnx)+ln(1-lnx)=x-1+ln(1一lnx), 所以g(x)=1-1x(1一lnx),0<x<1, 令hx)=x(1一nx) 则(x)=一nx>0,所以x)单调递增， 所以0<h(x)h(1)=1. 所以g(x)0,所以gx)Pg(1)=0, 即fx)f1-ln),0<x<1, 又0<x<12, 所以x2)=f)P1-l血) 因为x)在区间(1，+oo)上单调递增， 所以2>1一ln1,即十x2>a十1， 故原不等式得证， 4.(1)解x)=ex-2a(a>0)的定义域为(0，十oo),f(w)=e-ar以. 当a=e时，f()=er-elr, 令f(x)=0,则x=1, 当0x<1时，f(x)0, 当x>1时，f(x)0, 所以x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o)上单调递增。 (2)证明因为1,2是x)的两个不同的零点， 所以e*l=2ax1,e2=2ax2 显然>0，x20, 则有=ln2+na+12lnx x2=In 2+In a+12In x2 所以灯一x2=12n一12n2, 不妨令>x20,设t=x1x2,fP1, 所以龙=tlnt2(t-1),x2=lnt2(t-1), 所以要证1十2=(1+1)1m12(1-1)>1, 只要证lnD2(t-1)t+1, 即证nt-2(1-1)t+1>0, 令g(0=n-2(t-1)t+1e1) 则g(0=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0, 所以g(t)在(1，十o)上单调递增， 所以g)g(1)=0,所以+x21. 因为=ln2+na+12lnx1, x2=n2+na+12nx2, 所以灯+2=2n2+2na+12ln(xx2). 要证十22lna十ln2, 只要证12n(xw2大-ln2, 即214。 因为x2=