专题5.19 应用一元一次方程——追赶小明（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.19 应用一元一次方程——追赶小明（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点】行程问题 一、行程问题中的基本关系式 路程=速度时间 时间= 速度= 二、行程问题中的相等关系： （1）相遇问题中的相等关系： ①若甲、乙相向而行，甲走的路程+乙走的路程=甲、乙出发点之间的路程； ②若甲、乙同时出发，甲用的时间=乙用的时间. （2）航行问题中的基本关系： 顺风（逆风）速度=静水（无风）速度+水（风）速， 逆水（逆风）速度=静水（无风）速度-水（风）速. 特别提醒： （1）在行程问题的三个量（路程、速度、时间）中，一个两已知，另一个量设元，则第三个量用来列方程. （2）在相遇和追及问题中，若两者同时出发，则时间相等，利用两者路程之间的问题列方程. （3）航行问题中涉及顺和逆的问题，只要路程相同，则路程不变. 考点目录： 【考点1】数轴上的行程问题 【考点2】追击中的行程问题 【考点3】相遇中的行程问题 【考点4】环形道上的行程问题 【考点5】顺风顺水中的行程问题 【考点6】古代问题中的行程问题 【考点一】数轴上的行程问题 【例1】（2023上·广东佛山·七年级校考期中）如图在数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动（点，点同时出发）． （1）数轴上点表示的数是______． （2）经过几秒，点与点重合？ （3）经过几秒，？ 【答案】（1）；（2）经过秒，点与点重合；（3）经过秒，． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程，正确找出题中等量关系是解答本题的关键． （1）根据，得到，由此得到答案． （2）设经过秒，点与点重合，得到，由此得到答案． （3）设经过秒，，得到，由此得到答案． （1）解：由题意得： 点表示的数为，点表示的数为， ， 又， ， 点在点的右侧， 点表示的数是． 故答案为：． （2）设经过秒，点与点重合， 则， 解得， 答：经过秒，点与点重合． （3）设经过秒，， 当点N在上时，则，解得：， 当点N在点B的右边上时，则，解得：（舍去） 答：经过秒，． 【举一反三】 【变式1】（2022上·山东枣庄·七年级统考期末）如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为﹣6．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动（    ）秒追上点Q． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据追及模型列出方程即可求解． 解：设点P运动x秒追上点Q， 根据题意得：5x-3x=8-（-6）， 解得x=7， ∴点P运动7秒追上点Q， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了数轴以及数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解题意，列出一元一次方程是解决本题的关键． 【变式2】（2022上·山东日照·七年级校考期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为8，0，，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、R同时出发，那么第 秒时？ 【答案】或 【分析】分P和R相遇前和相遇后两种情况，根据时间、速度、路程的关系列一元一次方程，即可求解． 解：分P和R相遇前和相遇后两种情况，设第t秒时， 当P和R相遇前时， ， 解得； 当P和R相遇后时， ， 解得； 综上可知，第秒或秒时． 故答案为：或． 【点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程，注意分情况讨论，避免漏解． 【考点二】追击中的行程问题 【例2】（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）小明以60米/分的速度步行去图书馆，5分钟后爸爸发现他忘了带图书证，爸爸立即骑自行车以300米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他，请解决以下问题： （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）爸爸追上小明后，小明搭爸爸的自行车去图书馆，结果比只步行提前了10分钟到，若爸爸搭上小明后的骑行速度为240米/分，求小明家离图书馆有多远？ 【答案】（1）爸爸追上小明用了分钟；（2）小明家离图书馆有米． 【分析】（1）设爸爸追上小明用了分钟，根据题意可得，求解即可； （2）设小明家离图书馆有米，根据题意，列方程求解即可． （1）解：设爸爸追上小明用了分钟，根据题意可得， 解得， 答：爸爸追上小明用了分钟； （2）解：设小明家离图书馆有米， 由题意可得：， 解得（米）， 答：小明家离图书馆有米． 【点拨】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，