上海市嘉定区2023-2024学年高三第一次质量调研数学试卷

2023学年高三年级第一次质量调研 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分． 1．不等式的解集为____________． 2．已知,则____________． 3．函数的最小正周期为____________． 4．已知,则____________． 5．双曲线的离心率为____________． 6．已知事件A和B独立，，则____________． 7．已知实数a、b满足,则的最小值为____________． 8．已知的二项展开式中系数最大的项为____________． 9．关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的值为____________． 10．已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为____________． 11．已知复平面上一个动点Z对应复数z,若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为____________． 12．正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q,使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为____________． 二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分． 13．直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 14．两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为（ ） 第一跳 第二跳 第三跳 第四跳 第五跳 甲 85.5 96 86.4 75.9 94.4 乙 79.5 80 95.7 94.05 86.4 A．甲和乙的中位数相等，甲的均分小于乙 B．甲的均分大于乙，甲的方差大于乙 C．甲的均分大于乙，甲的方差等于乙 D．甲的均分大于乙，甲的方差小于乙 15．己知等差数列,公差为，则下列命题正确的是（ ） A．函数可能是奇函数 B．若函数是偶函数，则 C．若,则函数是偶函数 D．若，则函数的图像是轴对称图形 16．已知四面体．分别对于下列三个条件： ①；②；③, 是的充要条件的共有几个（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 三．解答题（本大题满分8分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分． 已知三角形,三角形的面积， （1）求角C的值； （2）若,求c． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分． 已知数列的前n项和为,其中． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分． 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列， 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽， 抗弯截面系数 （1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明； （2）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D,如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 抛物线上有一动点．过点P作抛物线的切线l，再过点P作直线m,使得，直线m和抛物线的另一个交点为Q． （1）当时，求切线l的直线方程； （2）当直线l与抛物线准线的交点在x轴上时，求三角形的面积（点O是坐标原点）； （3）求出线段关于s的表达式，并求的最小值； 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知． （1）求函数的单调区间和极值； （2）请严格证明曲线有唯一交点； （3）对于常数,若直线和曲线共有三个不同交点,其中，求证：成等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$2023学年第一学期高三年级质量调研 数学参考答案与评分标准 一，填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4 分，后六题每题得5分. (1)(-2